химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

0 +V (дг) яр (дг, t). (138.5)

Заметим, что величина Xfc+1~~Xk аппроксимирует скорость частицы на отрезке времени (tk, tk+1), а С — нормирующий множитель, определяемый из условия /( = б (xk+1 — xk) при Д/->0. Нетрудно найти, что

С=ЫШУ'- <1386>

Подставим теперь (138.4) в (138.1) и положим там q0 = x — g, q — q0 = x — x0 = |, tf = tf0 + A^ Далее

И

fxp{-±V{x)to} = \ + -Lv(x)M+ ... Выражение (138.1) теперь имеет вид

-F-OO

Ф(*. /0 + А/) = С ^ diexp(|^?i2)[l+-^-VWA^ + ...]x

ОО

x|><*. ^-^^Е + т^^бЧ-..]. (138.7)

+ оо _

Пользуясь тем, что ^ eiaz2 dz—y ~, легко вычислить пра— оо

вую часть формулы (138.7). Интеграл, содержащий множителем

я|)(х, /0), в силу нормировки (138.6) равен 1. Интегрирование

слагаемого, линейного по |, дает нуль. Интеграл, содержащий |2, 1 /?2

равен — jjr 2^At. Члены более высокой степени по ? стремятся к нулю быстрее, чем (At)3/*. Собирая теперь результаты интегрирования и замечая, что ^-[^(х, t0-{- At) —ty (х, tQ)]-^^-~-^- (мы

заменили tQ на t, поскольку они не различаются при А/->0), получаем для волновой функции г|э(лг, t), определенной с помощью (138.1) и (138.4), уравнение Шредингера (138.5). Тем самым доказано, что метод пропагатора (метод Лагранжа) эквивалентен применению уравнения Шредингера — аналога метода Гамильтониана—Якоби в классической механике.

После всего сказанного можно написать пропагатор и для конечного промежутка времени (t0, i). Перемножая пропагаторы (138.4) для промежуточных интервалов (tkt tk+i) и интегрируя по промежуточным значениям переменных xk, найдем

X

N-+CQ - - I *, I

N

{

N — 1

хС2 dx1dx2 ...dxN-t. (138.8)

Этот предел многократного интеграта называется функциональным интегралом. Замечая, что при бесконечно тонком разделении

интервала (t0, t) величина **+д7** может трактоваться как скорость ^ = х, и обозначая элемент объема интегрирования C2dxv..

...dxx-i через d{x], мы можем записать результат (138.8) в компактном виде

(138.9)

г t

К(х, t\ *0, tQ)= d{x}exp ~ jj L(x, i) dt

L t0

Интеграл, стоящий здесь в показателе экспоненты, есть классическое действие

t

S = \ L(x, x)dt. (138.10)

Интегрирование в формуле (138.9) распространяется не только на классические траектории, которые соответствуют экстремуму интеграла (138.10), но и на все траектории, соединяющие точки (t0, х0) и (/, х).

Представление пропагатора в виде функционального интеграла по траекториям (138.9) позволяет легко понять, почему в классическом пределе можно рассматривать лишь классические траектории. Действительно, если данную систему можно описывать классической механикой, то в этом случае действие 5 очень велико по сравнению с постоянной Планка Н. Рассмотрим траекторию, которая не является решением классических уравнений движения. Всякое небольшое изменение такой траектории приводит к очень большому изменению отношения S/h в формуле (138.9) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате вклады от всех таких траекторий взаимно гасят друг друга. Поэтому в классическом пределе эти траектории можно не рассматривать.

Однако в окрестности траектории, определяемой классическими уравнениями движения, дело обстоит иначе. Так как действие здесь экстремально 65 = 0, то малые отклонения от этой траектории не меняют величины 5. Поэтому вклады в пропагатор таких траекторий взаимно не уничтожаются, так как они близки по фазе, которая равна здесь SKJh. Таким образом, в классическом приближении только для траекторий, где действие экстремально, пропагатор (138.9) будет отличен от нуля. Но это есть в точности классический результат, а именно, всякое тело движется по пути наименьшего действия 65 = 0.

В заключение этого раздела приведем явное вычисление про-пагатора К (х, t; х0, /0) для свободно движущейся частицы и для осциллятора. В первом случае функция Лагранжа L равна

(х, х) = -?

Соответствующий функциональный интеграл получается из (138.8), если там положить V(xk) = 0. Воспользуемся элементарным свойством интеграла

-j-co

С» (ДО J expjifp^ + i^]}^

— оо

где С определено формулой (138.6). Последовательно применяя эту формулу (N—1) раз, получим

К (*, t; х0, t0) - (—JL—^ u exp [~ ™

(138.11)

Этот результат легко обобщить на трехмерный случай

. (138.12)

/С(х, /; х„ g = ( 2Ш [;_,о) J'' exp [± f Ц1 ,

Формула (138.12), как н следовало ожидать, совпадает [с точностью до множителя — ^ *^ с запаздывающей функцией Грина

свободного уравнения Шредингера (см. дополнение XIV).

В случае гармонического осциллятора функция Лагранжа имеет вид

L (дг, х) = (х - щх ),

где со0 — собственная частота осциллятора.

Вычисление пропагатора К для такого лагранжиана с помощью конечиократных аппроксимаций (формула (138.8)) довольно сложно. Поэтому здесь удобно использовать следующий прием.

В формуле (138.9) сделаем замену переменных, полагая

х{1)--хкл (t) + y(t),

где хкл (t) — классическая траектория, проходящая через начальную (ха) и конечную (хь) точки. Очевидно, что у (ta) = у (tb) = 0. Если лагранжиан квадратичен по координатам и скоростям, то действие S можно представить в следующем виде:

S[x(t)]=---SKJ1(x(n xb) + S* [у (()],

где Si:Jl(xat xb) = S[хк1 (/)], a S' —дополнительное действие, зависящее только от y(t) ). Теперь пропагатор K(xb, tb\ xaf ia) представим в следующем виде:

А (ХЬУ h\ ха, t(1) =

= ехр 5КЛ (xat xb)] J d {у (/)} exp [{ S' [у (/)]]. (138.13)

г) Множитель ^—-j обусловлен разной нормировкой пропагатора К (х, /;

х0, t0) и функции Грина g (х — х0, t — t0). Это легко увидеть, сравнивая уравнение (2) из дополнения XIII с уравнением для свободного пропагатора

('А Ш + Ш ?2) К (Х' /; Х°* 'о) == - j- 6 (х - х0) 6 у -10).

Таким образом, удалось явно выделить зависимость пропагатора от координат начальной и конечной точки (ха и хь). Если лагранжиан системы не зависит от времени, то оставшийся функциональный интеграл в формуле (138.13) является функцией только разности времен tb — ta. В ряде случаев вид этой функции может быть найден без явного вычисления интеграла по траекториям.

Для гармонического осциллятора 51<Л (х,п хь) имеет вид

5КЛ (ха, хь) = 2^~f [(*« + 4) cos щТ - 2xaxb]t где T = tb — tn.

Выражение для пропагатора в этом случае можно записать следующим образом:

К (Хь, if,] ха, ta) =

= F ^ ЕХР УШ^г № + 4) cos со0Г - 2зд,]|. (138.14)

Функцию F (Т) можно найти из требования, чтобы пропагатор гармонического осциллятора (138.14) при со0->0 переходил в пропагатор свободнодвижущейся частицы (138.11). Расчет показывает, что

Знание пропагатора дает практически всю информацию, которая необходима для квантового описания системы. Прежде всего с помощью пропагатора можно найти вероятности перехода между различными состояниями системы, а также волновые функции и энергетический спектр. Все эти вопросы за неимением места здесь рассматриваться не будут. Их подробное изложение можно найти в цитированной выше книге Р. Фейнмана и А. Хибса.

Заканчивая краткое изложение фейпмаповского подхода к квантовой механике, отметим следующее. Хотя это

страница 152
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(20.02.2017)