химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

волновые функции

Pk/Ґ = W9 (V)

где X = db 1 есть собственное значение оператора перестановки Pki. Это условие ведет к делению состояний на два класса:

Ч1" —4% (симметричные), (137.11)

Чг = Чга (антисимметричные). (137.1 Г)

Далее, из уравнения Шредингера следует, что симметрия не может измениться с течением времени. Поэтому принадлежность частиц к сорту «s» или сорту «а» может определяться только природой частиц. Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями Win суть частицы Ферми. Они подчиняются принципу Паули, который вытекает как следствие из свойств ансамбля, описываемого антисимметричными волновыми функциями.

Частицы, состояния которых описываются симметричными функциями называются частицами Бозе.

Таким образом, мы видим, что в основе квантовой механики лежат пять фундаментальных положений: (I) принцип суперпозиции состояний, (II) определение среднего значения, (III) толкование собственных значений как единственно возможных, (IV) уравнение Шредингера и (V) принцип тождественности частиц одного сорта. Физические основания этих положений были подробно обсуждены в соответствующих главах курса.

§ 138. Фейнмановская формулировка квантовой механики

В предыдущем параграфе была изложена формальная схема квантовой механики, которая стала общепринятой. В основе этой схемы лежит уравнение Шредингера, и при переходе от классического описания к квантовому используется гамильтонов формализм.

Однако существует и другая формулировка квантовой механики, предложенная Фейнманом в 1942 г.г). Фейнмановский подход не базируется на уравнении Шредингера и вместо гамиль-тонова формализма используется лагранжев метод ). Хотя эта формулировка не столь популярна, тем не менее она обладает рядом преимуществ.

Основным объектом в подходе Фейнмана является про па-га тор К (q, t\ #о> ^о)> который позволяет выразить волновую функцию т|э {q, t) через ее начальное значение г|э (q0, t0) в момент времени t — /0.

Здесь под q можно понимать любые динамические переменные, описывающие нашу систему в момент времени /, а под q0 — те же переменные в момент времени /0. В этих обозначениях пропагатор К определяется соотношением

г) Полное изложение этого метода можно найш в книге Р. Фейнмана и А. X и б с а, Квантовая механика и интегралы по траекториям, «Мир», 19б8„

Ф (<7. t) = \K(q, t\.q0, *o)*fao, t0) dq0. (138.1)

Очевидно, что пропагатор К должен удовлетворять уравнению Шредингера, поскольку ty{q> t) удовлетворяет этому уравнению. Он должен обращаться в 6(q — q0) при t = tQ, чтобы соотношение (138.1) имело смысл и при t = t0. Далее, при tQ>t обычно полагают К —0 (принцип причинности). Эти условия приводят к тому, что пропагатор К совпадает с запаздывающей функцией Грина полного (т. е. с учетом взаимодействия) уравнения Шредингера.

Однако мы не будем ссылаться теперь на уравнение Шредингера, а изберем другой путь вычисления пропагатора К, более адекватный этому новому понятию.

Рассмотрим сначала основные свойства оператора /С. Пусть в момент t = t0 динамические переменные q имели одно определенное значение q — q0. В этом случае i|5(^J, tQ) = b (ql — qQ). Если в момент времени t q==q\ то, согласно (138.1), получаем

Ч>(<Л t)=K(q', t; ft, t0).

Отсюда следует, что величина

P(q\ t\ Яо, *о)НФ(<Л f)\* = \K(q', t\ до, t0)\2

есть вероятность перехода системы из состояния q = q0 в состояние q—q' за время t —10 (t0K(q, t- q0) t0) = lK(q, t\ q\ t")K(q\ f\ q0, t0)dq". (138.2)

Из (138.2) видно, что переход системы из состояния q0y которое она занимала в момент времени /0, в состояние q к моменту времени t (t> to) можно рассматривать в два этапа.' Вначале система переходит в любое промежуточное состояние q" в момент времени t" (t0<.t" <.t)f и только после этого осуществляется переход в конечное состояние q к моменту времени t.

Очевидно, что можно и далее дробить интервал (t, t0). Разобьем его на N интервалов: (/<>, 4), (к, к), • ??, (^, tk+i), (^-i, tN)y tN = t. Значения динамических переменных в указанные моменты времени обозначим через qk (/г = 0, 1, N), так что пропагатор /С, относящийся к /-му интервалу, будет иметь вид

Ki = K(qi+u tM\ qh tt).

Применяя последовательно пропагатор Ki к любой начальной функции ty(q0, t0)t получим следующее выражение пропагатора для интервала времени (/0, t):

K{q, t\ q0y /0) = §... $/((#, t\ <7лг-ь h-i) К (<7лг-ь tN-ъ QN-2> tN.«)... .../С(Й2, 4; Яъ к)К(Яъ к\ Яо> t0)dqN-ltdqN-2---dqi, (138.3)

где интегрирование ведется по всем промежуточным состояниям (интеграл кратности N— 1).

Процесс последовательного перехода через все допустимые промежуточные состояния называется цепью Маркова. Однако в классической теории эта цепь образуется не амплитудами перехода (как это мы получили в (138.3)), а вероятностями перехода

Р (Qk + 1> h + Ъ Qkt tk)'P(q> t\ <7o> 1ъ) = \---\Рiq> t> <7tf-i, tN~i)P(qN-i, *лг-ь <7лг-2, ^v-2) ... • •.P(q2, h\ qu t\)P{qu h\ qo, t0) dqN.^dqN_2 ... dqL. (138.3')

На рис. 99 показаны несколько' «траекторий», возникающих в цепи Маркова. Мы взяли слово траектории в кавычки, так как любой конечный промежуток времени Atf = /ftfl — tk можно разбить на более мелкие интервалы Д^' <^Д/. В свою очередь, и эти интервалы можно дробить далее, так что траектории в цепи Маркова не имеют непрерывных касательных.

Заметим, что в различии цепей квантовой (138.3) и классической (138.3') еще раз проявляется тот факт, что в квантовой механике фундаментальное значение имеют амплитуды вероятностей, а не сами вероятности. Этот факт в принципе не позволяет свести квантовую механику к какой-либо классической статистической механике.

Интервал времени (t0, О разделен на семь промежутков, q — координата частицы.

Разумеется, что и в кван-тозой механике имеет смысл классическая цепь Маркова

(138.3'). Однако она описывает движение квантовой системы, которое прерывается в моменты времени t = tk (?=-1, 2, ...,#—!) измерением ее динамических переменных q, иными словами, вмешательством измерительного прибора. При этом нарушается когерентность движения системы на отрезках времени (4_i, tk) и (tk* h+i)Для того чтобы найти явное выражение для пропагатора К (q, (\ q<>, t0), обратимся, ради упрощения, к частному случаю одномерного движения материальной точки во внешнем потенциале V (х). В этом случае q=--x и классическая функция

Лагранжа имеет вид

Их, x) = f(Ј)2-V«.

dx

Здесь т — масса частицы, i = —ее скорость. Действие S за малый промежуток времени (tky tk+1) равно

S (Xk + i> к + ъ *ь к)= J L (x, x)dt.

*k

Покажем теперь, что если квантовый пропагатор К для бесконечно малого промежутка времени A/ = /ft+1 —взять в следующем виде:

К(хк+и tkvi, *ь, U) = Сexp {I [f (XK+1~XK-J - V (xk)\ At), (138.4)

то волновая функция г|э (x, /), определяемая формулой (138.1), будет удовлетворять уравнению Шредингера

Ш0Щ± = (дг,

страница 151
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
монтажник кабельных муфт обучение краснодар
наклейки на такси в спб
слесарное оборудование
курсы мойофис текст и таблица

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(28.04.2017)