химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

са) без каких-либо предположений о кинетике процессов2).

Отличие расчетов, базирующихся на квантовой механике, от расчетов, базирующихся на классической механике, заключается в разном способе подсчета числа возможных состояний. В квантовой механике состояние характеризуется заданием симметричной или антисимметричной волновой функции ?, и различные перестановки частиц по отдельным состояниям не дают тювого состояния (lF переходит сама в себя или меняет знак). С точки зрения классической механики каждая такая перестановка означает новое состояние частиц. Классическая статистика, базирующаяся на таком подсчете состояний, представляет собой предельный случай квантовой статистики, в которой число состояний исчисляется по числу различных волновых функций (можно показать, что классическая статистика получается из квантовой, если число частиц в объеме средней длины волны X3 много меньше единицы). В квантовой области различают две статистики — ст ат и ст и к у Ферми — Дирака (для частиц, подчиняющихся принципу Паули, — антисимметричные W) и статистику Бозе —Эйнштейна (симметричные ?, частицы Бозе). В своих принципиальных основах эти две статистики, конечно, не различаются.

О 4 У (* f

,0^3/2 (120.17)

Применим статистику Ферми —Дирака к электронам проводимости в металле. Последние приближенно можно рассматривать как свободные частицы1). Подсчитаем число состояний на интервал энергии р(е). В объеме металла L3=V состояния свободных частиц будут стоячими волнами. Удобнее рассматривать бегущие волны, считая металл бесконечно большим, но мы будем предполагать, что в каждом объеме L3 = V состояние полностью повторяется («условие периодичности»). Такое рассмотрение вполне законно, если L*p>%, где X есть длина волны преобладающего числа занятых состояний. Волновые функции будут плоскими бегущими волнами вида

(2л1)'

(нормированы к 1 в L3), причем kxy kyy kt имеют значения

kx = ky = 2-^, kz = 2-^. (120.18)

Благодаря такому выбору kxy ky, k2 состояние в объемах L3 повторяется. Состояния у нас нумеруются числами пх, пу, пг. Эту тройку чисел и следует теперь понимать под одним индексом т, фигурировавшим в (120.12).

2) Строгое доказательство возможности такого приближения и установление границ его применимости до сих пор еще не произведены.

Образуем сумму ^АпхАпуАпг (An = zbl) по состояниям, которые попадают в интервал энергии е, e+de. На основании

(120.18) имеем

Дл v Ally An, = (~J Akx Aky Akzt

следовательно,

E,.e-frfs e, e + de

2) Anx Atiy Anz = 2 bkxbkybkg =

i-\-de

(2л)3 5 ^y ^* ^

e, e + de

(2л)3

e, ё-\-de

Замечая, что для свободных частиц e = |j&2 и что каждому значению к соответствуют два состояния с различной ориентацией спина электрона, мы получаем

Ур(8)Л = -Д?^е'/»&. (120.20)

Подставляя это значение. р(е) в (120.14), находим закон распределения свободных электронов

/(e)de = ^(2f/2 . (120.21)

е в +1

Вычислим максимальную энергию е0 для 0 = 0. Так как при

9 = 0 f (е) = 0 для е>«0, то из (120.16) и (120.21) имеем

6 б

Отсюда

*о = ^(1Г (120-23)

Величина максимальной энергии электрона е0 для металлов (/г^ 1022 см~8) получается равной нескольким электронвольтам. Такого же порядка величины средняя нулевая энергия электронов ё(0) (точно ё (0) == 3/580). По классической теории средняя энергия электронов должна быть гораздо меньше (3/гкТ). Волее детальное исследование показывает, что е0 очень мало зависит от

температуры, если только последняя много меньше Т0 = ~. Эта

температура для электронного газа составляет ^ 10000°. Для температур Т^>Т0 можно доказать, что распределение Ферми—Дирака переходит в максвелловское распределение

е

f (8) de = const • е 0V/2de. (120.24)

§ 120]

ГАЗ ФЕРМИ-ДИРАКА И ГАЗ БОЗЕ — ЭПНШТЕПНА

525

Температуру Т0 называют температурой вырождения газа. Применение статистики Ферми —Дирака к электронному газу позволило преодолеть многочисленные принципиальные затруднения классической электронной теории металлов и в настоящее время является исходным пунктом современной теории1).

В качестве примера распределения Бозе —Эйнштейна рассмотрим черное излучение. Будем считать кванты света (фотоны) частицами. Соотношение между энергией е и волновым числом к

для этих частиц есть e = fiр(е>Л=ё*(?)'йЛ- (120-25)

Таким образом, закон распределения фотонов по энергии получается в виде

'w^iwir-- <120-26)

е® -1

Полное число фотонов неопределенно (=оо), поэтому условие (120.15) для определения а не может быть использовано. Энергия в единице объема в интервале de будет равна ef(e)de. Имея в виду, что е = #со, перейдем к плотности излучения и (со) на интервал частот tfco: и (со) dco = е/ (е) ti flfco. На основании этого получаем

«И = !?ТЙГ • <120-26')

При faoиИ = ^ЙГ— . О20-26")

J) Литература по квантовой теории металлов весьма обширна. Укажем книги: А. А. Абрикосов, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», 1972; Физика металлов. Электроны, под ред. Дж. Займа на, «Мир», 1972; И. М. Л и ф ш и ц и др., Электронная теория металлов, «Наука», 1971.

2) Применяя метод Гиббса, можно непосредственно вывести формулу (120.26"), не прибегая к классическому закону Рэлея —Джинса. (См. сноску на стр. 522).

т. е. формулу Планка2).

Глава XXI МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ

§ 121. Атом гелия

Атом гелия, второй атом периодической системы, является наиболее простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем классическая механика потерпела полный крах. Попытки рассчитать его методами классической механики (с учетом квантовых условий Бора) привели к выводу о невозможности применения классической механики к атомным системам с двумя и большим числом электронов. Было сделано предположение о существовании некоторого рода «немеханических действий». Современная квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем не встречает никаких принципиальных трудностей (вычислительные трудности довольно значительны).

Начнем с качественного анализа возможных состояний атома гелия, опираясь при этом на общую теорию систем, состоящих из одинаковых частиц, изложенную в §§ 114—117. Определим

А

прежде всего вид оператора Гамильтона Н для электронов атома гелия. Взаимодействия в атоме гелия можно разбить на две группы. В первую входят значительные кулоновские взаимодействия между ядром и электронами, во вторую —слабые магнитные взаимодействия, обусловленные взаимодействием спинов электронов между собой и с орбитальным движением1).

Обозначим координаты электронов через xlt ylt zl(r1) и х2, У2>

z2 (г2), а их спины через sx и s2. Оператор кулоновских взаимодействий буд

страница 129
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
чугунная сковорода-гриль купить в москве
купить ширму для комнаты в москве
вип такси москва в аэропорт
купить коробку с цветами и макарони москва

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)