химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

азано в предыдущем параграфе, вероятность перехода зависит не только от числа частиц в исходных состояниях, но и от степени населенности конечных состояний, именно, вместо (120.1) в согласии с (119.4) и (119.5) имеем для вероятности столкновения в случае частиц Ферми

Ртт: пп' = Amin>, nn,(\-Nm)(\- Nm>) NnNn. (120.2)

(Nm, Nm>, Nn, Nn> = \ или 0). В этой формуле явно выражен принцип Паули: если одно из конечных состояний занято Nm = 1 или Nm'=\, то перехода быть не может. Подобным же образом для частиц Бозе имеем

Ртт', пп' ~ Amm'tnn' (Nm+\)(Nm.+ \)NJi*. (120.3)

Здесь множители (Nm-\-\) и (Nm*+\) не имеют столь наглядного значения, какое имеют множители (\—Nm), (1 —Nm>) в случае частиц Ферми. Однако необходимость наличия таких множителей была нами доказана (§ 119). Как уже отмечалось, частицы Бозе имеют тенденцию к ассоциации: они переходят в наиболее населенные состояния2).

г) Этот принцип справедлив не всегда. Он, во всяком случае, справедлив в первом приближении теории квантовых переходов (см. §§ 84, 85) и строго справедлив, если силы взаимодействия между частицами — центральные (ср. §44 и цитированную там работу Д. И. Блохинцева).

2) Это приводит к замечательному свойству газа из частиц Бозе: при низкой температуре наступает своеобразная конденсация этого газа, даже если предположить, что газ —совершенно идеальный, так что силы взаимодействия бесконечно малы. См. A. Einstein, Berichte der Preuss. Akad. 3 (1925). Теория идеального газа Бозе была развита Н. Н. Боголюбовым (Jouni. Phys. •USSR XI, 23 (1947)). Эта теория позволяет дать толкование интересному явлению сверхтекучести гелия.

Равенство величин Amm>t пп> и Ann»t тт> (обратный переход) вытекает в квантовой механике из того факта, что Amm>t пп> пропорционально квадрату модуля матричного элемента энергии взаимодействия Wmm%tm>, a Wnm'%nn' = Wfm;mm> (см. сноску на стр. 519).

В соответствии с (120.2) и (120.3) для газа из одинаковых частиц в квантовой механике для среднего числа переходов под влиянием столкновений берут вместо (120. Г) выражение

Ртт'г пп> = Лтт>, пп> (1 ib Nm) (1 ~± Пт>) NnNn>, (120.4)

причем знак — берут для частиц Ферми, а знак -J- для частиц Бозе. Формулу (120.4) мы будем рассматривать как новое предположение о среднем числе столкновений частиц, основанное на квантовой механике1). Очевидно, что (120.4) превращается в классическое выражение (120.1), если среднее число частиц в каждом из состояний мало в сравнении с единицей.

Найдем теперь распределение по энергиям при тепловом равновесии в газе частиц Бозе или Ферми. При тепловом равновесии число переходов в состояния п и п' в результате столкновения частиц, находившихся в состоянии т и т', должно равняться числу обратных переходов. Из (120.4) тогда получаем (в силу равенства Атт>,пп> = Апп>, тт>)

(1 ± Nm) (1 ± Rm.) NnNn> = {\±Nn)(\± Nn) NmNm>. (120.5)

Далее, при равновесии среднее число частиц в каждом из состояний N_m будем считать только функцией энергии этого состояния гт [Nm — N (ет)]. На основании закона сохранения энергии при столкновениях (ср. (119.4) и (119.5)) имеем

ет + ет' = ел-|-8Л'. (120.6)

Из (120.5) получаем, что

N'«_ . Nm: = R«_ % =Г, (120.5')

\±Nm\±Nm. \±Nn\±Nn.

где С —некоторая постоянная, которая может зависеть (на основании сделанного предположения об N и закона сохранения (120.6)) лишь от суммы гт-\-ет' (или гп-\-гП' = гт-\-гт'). Таким образом,

= С (гт + в».). (120.5")

1 ± Nm 1 ± Nm.

Обозначая - = ф (ет), мы перепишем (120.5") в виде

1) Мы называем (120.4) «предположением», так как в выражении для вероятности перехода (120.2) разумеются истинные значения населенности уровней Nn, Nn,, Nm, Nm„ а в (120.4) стоят средние значения Nn„ Nm, Nmf Равенство (1 ± Nm) (1 ± Nm,) NnNn, = (\ ± Nm) (1 ± Nm,) NnNn, не является очевидным и выполняется не при всех условиях.

ф (ej Ф (гт>) = С (ет + гт>). (120.7)

Дифференцируя это равенство один раз по гт и другой раз по ет' и деля один результат на другой, найдем

Ф^ = Ф^= ? (120 8)

где 0 —некоторая постоянная, не зависящая от е. Интегрируя теперь (120.8) по е/п, находим

<р(ет)=« 0+ , (120.9)

где а —постоянная интегрирования. Отсюда находим для среднего числа частиц в состоянии с энергией ет:

Na = N Ы = (120.10)

е0 ± 1

(знак -f- для частиц Ферми, знак — для частиц Бозе). При большой энергии частицы (е->оо) закон распределения по энергиям должен совпадать с классическим заколом Больцмана

N(em) = const • е kT, (120.11)

где /^ — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура. Переходя в (120.10) к пределу ем->оо и сравнивая с (120.11), находим, что Q = kT. Таким образом, окончательно

Nm^-e ! • (120.12)

екТ ±1

Постоянная интегрирования а определится из условия равенства числа частиц во всех состояниях полному числу частиц в рассматриваемом объеме газа:

2#« = #- (120.13)

пг

Совокупность частиц, подчиняющихся закону распределения (120.12) со знаком (+), носит название газа Ферми—Дирака, а со знаком (—) — газа Бозе —Эйнштейна. Закон (120.12) явно написан для дискретных состояний.

Введем число состояний на интервал энергии de. Обозначим его через Vp (г) de, где V — объем всего газа. Тогда, суммируя (120.12) по всем квантовым состояниям, энергия которых попадает в интервал е, e + de, мы получаем среднее число частиц газа, имеющих энергию между е, e + de (закон распределения по энергиям):

и деля на V, получаем то же число для единицы объема газа

/(8)rfs= ep(e)d8 . (120.14)

ee-a + 1

Вместо (120.13) теперь следует написать

00 оо

$ / (е) de = jj sp^Ј) d& = rt, (120.15)

о 6 e© a ± !

где n = Af/V — плотность числа частиц*).

Распределение (120.14) со знаком (+) носит название распределения Ферми —Дирака, а со знаком (—) —распределения Бозе —Эйнштейна. Наиболее существенной особенностью распределения Ферми —Дирака является существование нулевой энергии газа. Чтобы в этом убедиться, положим

а — тогда имеем

оо

= fM=-EElh- <120Л6)

и е 0 + 1 е 0 + 1

При G -> 0 (низкие температуры) е0 должно быть больше нуля (если энергию е отсчитывать от нуля так, что &>>0), иначе при в->-0 /(&)-> 0 и нельзя удовлетворить первому равенству (120.16). Далее, мы видим, что при 0->О /(е) = р(е) для е<еои/(е) = 0 для s >> 80, т. е. при абсолютном нуле все состояния в газе Ферми —Дирака заняты вплоть до состояний с е = е0, остальные же состояния свободны. Энергия частиц, занимающих состояния от 8 = 0 до 8 = е0, и есть нулевая энергия газа. Более подробное рассмотрение показывает, что такое распределение очень мало меняется с температурой, если только температура остается такой, что 6 = &Г<^е0. е0, очевидно, есть максимальная энергия частицы в газе Ферми — Дирака при абсолютном нуле температуры.

2) См. М. А. Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944.

Мы вывели распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, исходя из гипотезы о столкновениях (120.4). Эти же распределения могут быть найдены из общих положений термодинамической статистики (ансамбль Гибб

страница 128
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Акция сайта - кликни получи скидку в KNS по промокоду "Галактика" - память для ноутбука ddr3 купить - в кредит не выходя из дома в 240 городах России.
циркуляционный насос grundfos ups 32 120f
цветочница тм-8
dream machine tokio hotel билеты

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.03.2017)