химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ение может быть записано в очень удобной форме, если ввести

операторы ап и а%, которые действуют на функции от чисел Nn, следующим образом:

aif(Nlt N2, Nn, Nm, ...) =

= (Nn+iy/*f(Nlt N2, Nn+\, Nm, ...), (118.12)

aJ(Nu NZf .... Nn, Nm, ...) =

^Nn'*f(Nu N2, Nn-\, Nm, ...), (118.12')

anf{Nx,N2,..., 0Л> Nm, ...) = 0. (118.12")

Эти операторы, очевидно, обладают следующими свойствами:

a*nan = Nn, aЈi = Nn+l, (118.13)

ата'п- а%ат = 8тп. (118.14)

Теперь нетрудно видеть, что с помощью этих операторов уравнение (118.11) может быть написано в виде

ihdc(Nu л, '>=ffc(#b N2, *), (118.15)

где

A=2^ni"f} ^ 2 flmflro'^mm'./in'^n'. (118.16)

rrty а т, т' п9 п?

л.

Оператор Н есть гамильтониан системы, выраженный через операторы ап и а*. Его обычно называют вторично квантованным. Это уравнение вполне эквивалентно исходному уравнению (118.1) для N частиц в конфигурационном пространстве. В сущности уравнение (118.15) есть уравнение (118.1) в «N»-представлении, т. е. в представлении, в котором в качестве переменных взяты числа частиц Nu N2, Nm, ... в различных квантовых состояниях 1, 2, га, ...

Однако уравнение (118.15) в одном отношении общее уравнения (118.1); последнее написано для системы N частиц, в уравнении же (118.15) полное число частиц явным образом не входит. Оно является постоянной интегрирования. Действительно, оператор Н (118.16) в каждом члене содержит одинаковое число операторов а и операторов а*. Так как операторы а* увеличивают

число частиц в каком-либо из состояний на 1, а операторы а уменьшают число частиц в каком-то из состояний на 1, то полное число частиц N = ^Nm под действием оператора Н не меняется, так что

-^ = [Я, N] = 0. (118.17)

Таким образом, W = const. Поэтому уравнение (118.15) справедливо для любого числа N одинаковых частиц Бозе.

Гамильтониан (118.16) теории вторичного квантования можно написать в другой форме, которая соответствует энергии некоторого волнового поля.

Пусть волновая функция одной частицы есть ty(q). Разложим эту функцию по собственным функциям tyn(q) операторов Llf L2, L3 s'

4>(?) = 2M>«fa). (П8.18)

П

Будем теперь рассматривать амплитуды ап не как числа, а как операторы со свойствами (118.14). Тогда сама функция я|) будет оператором

^(q) =2^«*я (Я)> (118.19)

п

действующим на числа Nu N2, Nmt ... Переход от (118.18) к (118.19) означает, что мы перешли от чисел к операторам, т. е. мы как бы перешли от классической теории к квантовой. Но так как описание движения одной частицы с помощью волнового поля г|) (q) уже само по себе является квантовым, то

замену амплитуд ап на операторы ап называют вторичным

квантованием, а волновую функцию ? называют квантованной волновой функцией1).

Заметим, что переход от неквантованной волновой функции (118.18) к квантованной (118.19) может быть сформулирован непосредственно без обращения к операторам аа. Действительно, из (118.14) и (118.19) следует

?(т, п

= 2 Ьтп< (?') % (?) = Ц Гп (т,п п

где сумма распространена по всем собственным функциям. Такая сумма, как можно доказать, равна d(q' — q). Поэтому квантование волновой функции можно записать в виде

*) Следует не упускать из виду, что волновой функцией в обычном понимании этой величины в теории вторичного квантования является функция

с(Л/ь Л>2, Nm, 0, а не Ф|

? (q) ?* (qf) - ?* (qf) ?(А

С помощью квантованной волновой функции ХУ (q) (118.19) гамильтониан (118.16) может быть написан в виде

Й = | J Vt* to) VҐ (q) dq + § ?* (q) U (q) ? (q) dq +

+ T J J ** to) V* (qf) W (q, q') 4' (q) ? (qf) dq dq'. (118.21)

Эквивалентность (118.21) и (118.16) очевидна, если учесть (118.19) и выражения для матричных элементов (118.6) и (118.7).

В этой форме гамильтониан И (118.21) можно рассматривать как энергию некоторого волнового поля, которое «квантовано» в том смысле, что классическое поле (q) заменено на оператор

л. _

? (q). Действительно, будем понимать под ty(q) волновое поле де Бройля — Шредингера и предположим, что отдельные элементы этого поля взаимодействуют между собой так, что энергия взаимодействия двух элементов пропорциональна произведению плотностей \ty (q) |21 ij) (qf) |2. «Классическое» уравнение для такого поля будет1)

ЛЦМ = - f-v^(q) + U (q)y(q) +

+ ^(q)\W(q, q')\^W\2dq'. (118.22) Полная энергия такого поля будет равна2)

Я = | J \^(q)\2dq+^ \q(q)\>U(q)dq +

+ J J 1 Ч> (?) I2 1 * (Если теперь расположить здесь ф и i|>* надлежащим образом и

Л Л.

заменить их операторы Ч; и xV*t подчиняющиеся правилу перестановки (118.20), то мы получим в точности гамильтониан (118.21) теории вторичного квантования. Отсюда видно, что теория вторичного квантования допускает следующий замечательный подход к теории систем одинаковых частиц: рассматривается некоторое классическое поле xj). Для него находится выражение энергии Н. В этом выражении классическое .поле заменяется на

2) Пользуясь уравнением (118.22), можно убедиться, что —0, т. е.

Н есть интеграл движения. Так как второй член в (118.22) заведомо есть потенциальная энергия во внешнем поле, то все вьфажение, поскольку Н = const, следует рассматривать как полную энергию поля.

оператор ?. Тогда мы приходим к гамильтониану Н теории вторичного квантования и получаем право говорить о частицах, свойственных данному полюф: после квантования поле обнаруживает дискретную, корпускулярную природу. Эта процедура носит название «квантования поля». Сила ее заключается в том, что она применима к любому классическому полю !).

В приведенном выше примере речь шла о квантовании поля де Бройля—Шредингера для случая частиц Бозе.

Совершенно таким же путем можно выполнить квантование для случая частиц Ферми. Различие заключается лишь в свойА А

ствах операторов а, а*. Чтобы найти эти операторы, нужно выполнить заново преобразование уравнения (118.3) от переменных mb га2, mN к переменным Ыъ N2f Nm, которое для частиц Ферми несколько более кропотливо ввиду того, что при перестановке частиц функции с (тъ т2, ..., тм, t) меняют свой знак. Далее, как уже отмечалось, числа Nm могут иметь лишь два значения: 1 и 0. Выполняя сходные преобразования2), мы получим из (118.3) опять уравнение (118.15) с гамильтонианом (118.16), но операторы ап, а'1 будут определены в этом случае иначе, именно,

a%f(Nlt N2, 0Я, Nmt ...) =

= ±f(Nlt N2, 1Я, Nmy ...), (118.24)

atf(Nu N2i 1л, Nm, ...) = 0, (118.24')

aJ(Nlt A/2, 0Я, Nm, ...) = 0, (118.24")

anf(Nlt N2, 1«, Nm, ...) =

= ±/(#ь N21 0«, Nmy ...), (118.24"')

причем знак -f или — берется, смотря по тому, четное или нечетное число занятых (Nm—l) состояний предшествует состоянию п, если состояния расположить в порядке возрастания3) /?. Из этих правил следует

a*an = Nn(0

страница 126
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
рекламное производство москва
универсальные котлы отопления жилого дома
Скидка за клик в KNS, промокод "Галактика" - телевизоры телефункен - в кредит не выходя из дома в 240 городах России.
маршрутное такси аренда москва

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)