химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

азвание вторичного квантования. Сущность этого метода заключается в том, что в качестве независимых переменных для описания ансамбля вместо полного набора механических величин, характеризующих индивидуальные состояния отдельных частиц, берут числа частиц в этих состояниях. Каждое из этих состояний будем характеризовать тремя переменными: Lb L2, L3, относящимися к движению центра тяжести частицы и спиновой переменной s, если частицы имеют спин. Ради упрощения математического аппарата будем считать, что эти переменные имеют дискретный спектр, так что все состояния можно перенумеровать числом п так же, как это делалось в § 116 (под п разумеется совокупность значений четырех величин: Lb L2. s).

Обычно гамильтониан дается в координатном представлении, поэтому мы выполним сначала преобразование от координатного представления к «^-представлению, которое будем считать дискретным х).

Если в координатном представлении волновая функция системы N одинаковых частиц будет ty(qi, q2, qNt t)t то

х) В теории вторичного квантования часто берут импульсное представление (Ll = px, L2 — py, L3 = pz). Однако импульсное представление непрерывно. Поэтому прибегают к искусственному приему, полагая рх = 2лНпх/1, ру = 2кНпу/1, р z — 2rihnzll, где пх, пч, nz — целые числа, а / — некоторая большая длина (ср. § 120). Тогда импульсное представление становится дискретным. В окончательном результате переходят к 1->оо и тем самым освобождаются от этого искусственного допущения. Исчерпывающая теория вторичного квантования, применимая также и к случаю непрерывной последовательности состояний, была разработана В. А. Фоком (V. A. F о с k, Phys. Zs. d. Sov. Union 6, 425 (1934))«

уравнение Шредингера для этой системы имеет вид

{

N N \

где Я (^) = — V| -f ?/ (^) есть оператор энергии k-й частицы,

[/(^ — потенциальная энергия k-й частицы во внешнем поле, a W (qk, ft) —энергия взаимодействия k-й и /-й частиц. Разложим теперь волновую функцию я]; По собственным функциям урпь(Як) операторов Li, L2, L3, s точно таким же путем, как это делалось в § 116. Тогда получим

^(ft, ft, ftv, 0 =

= 22-"2с(Ль л2, ялг, O^^^JftJ.-.^/v^ftv)- (П8.2)

с(пъ • /гл-, t) есть, очевидно, волновая функция нашей системы в «/^-представлении. \с(пъ п2, «лг, 0 I2 есть вероятность того, что первая частица находится в состоянии пх (имеет четверку Lb L-i, L3, s, обозначенную одной буквой пг), вторая частица в состоянии п2 (имеет четверку L\, 1!ъ LJ, s', обозначенную через п2) и т. д. Подставляя (118.2) в (118.1), умножая уравнения слева на tyj, (я\) \\>т^ (q2)... yp*lN (qN) и интегрируя по

ft, ft, ftv, получим

itl^c(nii, tn2, тк, trij, m^v, 0 —

= 2 ljHtnk'< »Ас(ть //72. л*. ™;» •••» "to, 0 +

N

+ 2 SH^V/-"^^1' m2 Wb nh тл-, 0- (П8.3)

k>j nk n.

Здесь ЯдаА; nk и 1^тлшяляу суть матричные элементы

ЯЯ1л: „А - \ №k (ft) Я (^) %k (ft) ^, (118.4)

= J (ft) (ft) W (ft, ft) Я|?яЛ (ft) Ф«, (ft) efft (118.5)

Уравнение (118.3) есть уравнение (118.1) в «^-представлении. В силу одинаковости частиц матричные элементы (118.4), (118.5) зависят лишь от значения квантовых чисел mk, rtij, nk, rij, а не от номера частиц k, у. Обозначая какое-нибудь значение mk через fn, пк через п, подобным образом т,- через га', tij через п', координаты k-й частицы через q, а у —через а', мы можем написать

(118.4) и (118.5) в виде

Я'»//. Ч = - 2u \ **' М V2 *? W ^ + \ **' ^) ^ (9) W ^ = = ? S (^) to) Амплитуды с (nil, m2, ..., mN, t) (волновые функции в «L»-представлении) суть симметричные функции квантовых чисел тъ т2, mN для частиц Бозе и антисимметричные функции для -частиц Ферми (см. § 116). Поэтому значения этих амплитуд зависят лишь от того, сколько аргументов из их полного числа N (nil, пь2, тх) равно т, сколько равно т'у т", ... и т. д., а не от того, какие именно из этих аргументов равны т, т', т", т. е. эти амплитуды являются функциями числа частиц в каждом из состояний. Обозначим эти числа через Nx, N2, ... ..., Nm, ..., N,n', ..., Nm», ... и т. д. Следовательно, например, Nm равно числу чисел mk среди аргументов с (mi, пц, mN, t), значение которых равно т, N,„> равно числу чисел пц, значение которых равно ml и т. д.

В случае частиц Бозе числа Nm могут быть любыми. Напротив, в случае частиц Ферми, в силу принципа Паули, функция с(ти т2, mN, t) обращается в нуль, если хотя два числа mk, nij равны между собою, так что Nm принимает только два значения 0 или 1: состояние может быть занято только одной частицей или вообще не занято.

Дальнейшие преобразования мы произведем для частиц Бозе. Наша задача заключается теперь в том, чтобы написать уравнение Шредингера (118.3), взяв в качестве переменных вместо квантовых чисел nil, т2, ..., т^ числа частиц в этих состояниях Nx, N2, ..., Nm, ... Для этого нам нужно прежде всего изменить нормировку амплитуд с. В самом деле, если рассматривать с как функцию чисел Nly N2, ..., Nm, ..., то |с(Nx, N2, Nm, ...,/) |2 есть вероятность нахождения Nx частиц в состоянии 1, N2 частиц в состоянии 2, ..., Nm частиц в состоянии яг и т. д. Эта же вероятность выразится через с (тъ т2, w#, /) в виде

c(Ni, N2, Nm, i) i2 = У; I с (тъ пи, mN, t)\2, (118.8)

где сумма взята по всем с(тъ т2, mN, t), имеющим Ni чисел mk, равных 1, N» чисел mk, равных 2, и т. д. В силу симметрии все эти с равны между собою. Поэтому

c(Ni, N2

...,

• • •»

N

— Nj\N2\ ...Nml

\с(ти т2

, ...,

mN,t)\\ (118.8')

откуда

c(Nu N2, Nm, /) =

= (NJN^IN^.T0^1' ™2' /)E (118'9)

Подставляя теперь в (118.3) вместо с(ти т2, т^, t) амплитуды Лг2, Л^, •••» О» мы можем выполнить суммирование по номерам частиц k и /. Для этого воспользуемся (118.6)

и (118.7) и заметим, что с(тъ т2, тк, trij, mN, t)

отличается от с (mi, /и2, .... л*, /ну, т^, t) тем, что

число частиц в состоянии тк = т уменьшилось на 1, а число

частиц в состоянии nk = n увеличилось на единицу.

Подобным же обр азом с (ttii, tn2, ..., ик, ..., tijy ... у fti]\[y t) отличается от с (тъ т2, ..., mk, ...» ту, ..., т^, 0 тем, что число частиц в состояниях mk = m, rnj — m' уменьшилось на 1, а в состояниях пк = п, п;=п' увеличилось на 1.

На основании этих замечаний находим

Хс(Ыъ Nmy Nm>, Nny Nn', *)} =

= 2 л^тятл F^1 • • •{NM ~1)! • • • ^ j • • •(MN+1)1 • • • NN'A • • -J2 X

n, m

Xc(Nlt Nm—\y WMS NN+1, Nn; 0 +

+ T 2 2 NMN,N'W'"'"'» NN'X

m, m' n, n'

x...(^-1)! ... (УУт,-1^...(Л^АЧ-1)? ... (Л^^+l)!-.-y^ x

Xc(Nlt Nm'—l, Л^-f-l, Nn>+\, /).

(118.10)

Деля на [N,N,mt j » получим

^ с (A/b ..., ..., Nm; ., Nn,., Nn>, ., t) =

= 2 ^ (^«+о1/вЯ»«х

XC№, NM—1, AFM>, N„+1, IVV, 0-H

+ ~^N)n"N)^ (Nn+ I)72 (Л^ + l^mm'./m' X

(118.11)

Это и есть искомое уравнение, в котором за независимые переменные взяты числа частиц в отдельных состояниях. Это уравн

страница 125
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ручка для мебели черная купить
радиаторы биметаллические sira купить
мэрдэс стол компьютерный ср-420/170
концерт пенкина нижний новгород

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)