химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

Я. Следовательно, уравнение (115.1) есть уравнение для собственных функций 4J' и собственных значений X операторов перестановки

Pkj. Мы можем поэтому сказать, что условие (115.1), накладывае-емое принципом тождественности на возможные состояния системы, заключается в том, что волновые функции Х1Г, описывающие состояние системы, должны быть собственными функциями

А

операторов Рк]- (для любых к, /). Нетрудно определить, каковы эти собственные функции и собственные значения X. Для этого

применим к (115.1) еще раз оператор перестановки Ркг Имеем

PI/F = aA/F. (115.2)

Два раза применяемый оператор перестановки Pkj не меняет функции х?. Поэтому в (115.2) слева стоит просто Ф (..., qk,---qp ...), а справа в силу (115.1) ХЩ (..., qk, qJ} ...), так что (115.2) переписывается в виде

? = XW,

т. е.

Х2=1. (115.3)

Отсюда получаем собственные значения оператора перестановки

л

Pkj'Я = ±1, (115.4)

а соответствующие собственные функции обладают в силу (115.1) следующими свойствами:

№=+4, Я= + 1, (115.5)

или

РуЧ?= -Ч', Х = -1, (115.6)

т. е. собственными функциями оператора перестановки PkJ-являются функции, которые при перестановке координат к-н частицы (qk) и /-й частицы (qj) либо не меняются (115.5), либо меняют свой знак на противоположный (115.6). Первые функции

§ из]

СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ

495

(115.5) мы будем называть с и м метр и ч и ы м и, а вторые (115.6) а н т и с и м м е т j) и ч н ы м и относительно перестановки частиц с номерами к и /.

Таким образом, возможные состояния системы из N одинаковых частиц должны описываться волновыми функциями xҐ(qlt... ... , qk, ... , Pk№s = 4s(k, /-любые) (-115.7)

— симметричные во всех частицах и

PkjVa = ~ У a (k, j - любые) (115.8)

— антисимметричные во всех частицах.

Мы сейчас покажем, что переходов между этими состояниями быть не может: если в какой-то момент времени система находится в симметричном (4?s) или антисимметричном (?„) состоянии, то она всегда находится в симметричном или соответственно антисимметричном состоянии. Для доказательства этого важного положения достаточно воспользоваться уравнением Шредингера и тем обстоятельством, что гамильтониан обязательно симметричен относительно одинаковых частиц. Уравнение Шредингера

ih~ = fH? (115.9)

нам удобно переписать в форме

d№ = t}flHVdt, (115.10)

А) Если встречаются перестановки и того и другого рода, то Чг = 0. Действительно, пусть W симметрична при перестановке k и /, / и г, но антисимметрична при перестановке i и /г. Тогда имеем

^ (• • • » <7/t • • • » q к* ••? i Qjt ' • •) ~=1 ^P" (.., , Cjfci • • • , Qit ... , Cfj, ...) =

= — ? (... , (fk* • •• > Qjt • • • i Qi> • • •)== ^ (• • • » tfj> • • • > Qkt ...» *7/» • • •) ==:

= V (... , (ji, ... }(jk> • • • » Qjt • • ?)?

Отсюда 2Ґ (... , qh q/{, Q,; ...)=0, т. с. qh ци, ...

..., qjt ...)•-—0. Подобным же образом проводится доказательство в предположении, что две перестановки антисимметричны, а третья симметрична.

где dt будет означать приращение волновой функции за время dt. Допустим, что в момент времени t — OW есть симметричная функция координат частиц (ЧГ==ЧГ5). Тогда в силу симметрии

Я величина ЯЧ^ будет также симметричной функцией координат частиц, а следовательно, и приращение функции dtxY будет симметричной функцией от координат частиц.

С помощью оператора перестановки эти рассуждения могут быть записаны так:

А / A v А / А ч А

Pki(H4s) = H(PkJys)^HWs, отсюда с помощью (115.10) следует

Pkj(d№s) = dt4s (115.11)

для всех пар к, /. Наше доказательство, таким образом, утверждает, что функция, симметричная в какой-то момент времени (/ = 0), остается симметричной и в соседние моменты времени как в прошлые, так и будущие, ибо доказательство одинаково применимо и к dt>0 и dt<0. Следовательно, симметрия функции остается неизменной для всех моментов времени от t—— оо до /=-foo. Совершенно аналогичным образом проводится соответствующее доказательство для антисимметричных функций. Пусть в момент ? = 0 функция 4я, описывающая состояние системы, антисимметрична (4; = ll/rt). Тогда

Р kj^ а — ^а*

Далее,

Pkj (ЯЧд = Я (*VPe) = - HVat

из (115.10) тогда следует

Pkj(dtVa)=-dtWa, (115.12)

т. е. приращение антисимметричной функции Ч;а само антисимметрично. Поэтому, если система находится в состоянии, описываемом антисимметричной функцией Ч^, то она всегда остается в таком состоянии. Доказанная теорема показывает, что деление состояний на два класса носит «абсолютный» характер: если какая-либо система в какой-либо момент времени обнаружена в состоянии того или иного класса (Чг5 или ?„), то она никогда не перейдет из одного класса в другой. Такой переход невозможен, как бы мы ни меняли внешнее поле, так как всякое поле одинаково действует на одинаковые частицы, и, следовательно, при любом изменении внешнего поля гамильтониан остается симметричным.

Нам надлежит теперь решить вопрос о том, в каких случаях какую из двух возможностей (4r = 4rs или ЧГ = ЧГЯ) следует применять для описания состояния системы из одинаковых частиц.

§ 116. Частицы Бозе и частицы Ферми. Принцип Паули

Как мы видели, квантовая механика на основе принципа тождественности одинаковых частиц ведет к двум классам состояний, абсолютно не смешивающимся между собой. Поэтому выбор того или иного класса состояний для какой-либо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему, а не характером внешнего поля или каким-либо подобным обстоятельством.

Опытным путем установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам. При этом наблюдается следующее правило: частицы, обладающие спином, равным целому числу постоянных Планка:

s = hm, m = 0, 1, 2,... (116.1)

описываются симметричными функциями (\Р5). Мы будем называть такие частицы частицами Бозе, а совокупности таких частиц — а н с а м б л я м и Б о з е — Э й н шт ей и а, по имени физиков, разработавших статистику для таких частиц.

Напротив, частицы, имеющие спин, равный полуцелому числу постоянных Планка:

s = Hm, т = у, -§, -|>-*- (116.2)

описываются антисимметричными функциями i^a)- Мы будем называть такие частицы частицами Ферми, а совокупность таких частиц ансамблями Ферми —Дирака, по имени физиков, построивших статистику для частиц такого рода1).

Все простейшие «элементарные» частицы обладают спином 0, 1/2 или 1 (см. таблицу на стр. 22).

Спином 1/2 обладают электроны, протоны, нейтроны, г

страница 121
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
поселок с озером участки
книжные полки на стену купить в москве
аренда ниссан для такси
миски fissler

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(28.04.2017)