химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

М велика, а внешнее поле Ж всегда плавно меняется от точки к точке, то мы имеем налицо как раз те условия, при которых применимо приближение классической механики. Положив

ФЯШ(Х, У, Z, t) =

= V9mm (X, У, z] t) exp {- L Snlm (X, У, Z; *)}, (111.4)

где Sn/m — функция действия, а рпШ — плотность атомов в пространстве, мы получим для Sn[m и рп1т в первом приближении классические уравнения (см. § 35 (35.8) и (35.13))

div (Pnlm\Snlm) = 0.

(111.5)

(111.6)

Якобн; оно

dt

м

dt ~~ 2М (V^nlm)2 ~\-Enlm (X, У, Z), dpnlm 1

Первое уравнение есть уравнение Гамильтона утверждает, что частица будет двигаться по классическим траекториям. Второе уравнение есть уравнение непрерывности; оно утверждает, что рой частиц будет двигаться так, чтобы поток частиц, проходящий через любое сечение трубки, образованной траекториями, был постоянен.

Обратимся теперь к чертежу (рис. 83). Пусть на протяжении от D до Р действует магнитное поле, направленное по оси OZ. В D сделана диафрагма, через которую поступают атомы. Ширина щели в диафрагме равна AZ0. Пучок атомов, входящий в D будет расщепляться. Те из атомов, которые окажутся в состо

янин с магнитным моментом 3?im = 0, будут двигаться без действия сил. Из уравнений (111.5) и (111.6) мы получим проходящий без отклонения пучок. Атомы, находящиеся в каком-либо другом состоянии с ЭЛт 9^ 0, образуют отклоненные пучки (на рис. 83 приведены два таких пучка).

Существенно, что магнитный момент меняется от состояния к состоянию скачкообразно. Благодаря этому пучки, вообще говоря, разделяются так, что по месту падения атомов на экран (или фотопластинку) Р мы можем решить, в каком из возможных состояний урт находятся атомы, т. е. определить их стационарные состояния. Траектории, принадлежащие пучкам, легко вычислить из уравнений (111.5), (111.6), учитывая расположение диафрагмы D, ее форму и начальное распределение скоростей атомов.

Можно и прямо воспользоваться уравнениями Ньютона:

D2X

dEnlm

D/2 dX '

D2K

D/2 ~ dY '

D2Z dEnlm

D/2 dZ *

(111.7)

Будем считать, что магнитное поле зависит лишь от z (по крайней мере на большей части отрезка DP). Тогда из (Ш.7) получаем

X^vl + X0, (111.8)

1 0ЕЯ

У = Уо, (Ш.8')

%т— 2Л1 —7)Z^ ^ "Т" ^01 (111.8)

где v — скорость атомов (мы предполагаем, что они первоначально

движутся параллельно ОХ, и, кроме того, градиент поля ~|в пределах области движения атомов считаем почти постоянным). Обозначая длину DP через / и пользуясь (111.2), мы получим отклонение

Zm-Z^-^c(m±\)d^. (Ш.9)

Произведенный нами расчет лишь приближенный. В действительности атомы, проходящие диафрагму, не будут двигаться по классическим траекториям: пучок будет расползаться.

Чтобы учесть это явление, следует сделать еще один шаг в приближенном решении уравнения (11J.3), учтя члены в Sn!tn и р,.,от, содержащие первые ступени h (см. § 35). Мы не будем этого делать, а ограничимся лишь оценками.

Пусть ширина пучка в направлении 0Z есть AZ0. Тогда скорости атомов в направлении 0Z в силу соотношения неопределенности

AZ0Ap,> * (111.10)

не могут равняться нулю (как это допускалось в классическом расчете). Если среднее значение pz — 0, то из (111.10) следует,

vz>

(111.10')

что AZ0-Миг"> ~t т. е.

2М • AZ0*

п

AZt ^ vzt >

(111.11)

При прохождении через поле в течение времени t, благодаря наличию разброса в скоростях vzy ширина пучка AZ возрастает и будет равна

2М • AZ0'

Ы

Для того чтобы мы были еще в состоянии решить, к какому из состояний Enjm или Enim> относится атом, падающий на экран Р, необходимо, чтобы | Zm< — Zm \ ^> AZt, т. е. на основании (111.8")

или

nln± AZ,

nlm

3Z дЕ

dZ

2М • AZ0

AZr

(111.12)

(111.13)

Но так как в силу слабой зависимости Enim' и Enim от Z

Еп

1т'

•nlm |

>

nlm'

dZ

AZf

nlm

dZ

AZ0

то последнее неравенство можно записать также в виде

\Enim' — Enlm\t>ft, (111.14)

т. е. для того, чтобы различать стационарные состояния атома (Enim' или Enim), измерение должно производиться в течение достаточно большого времени U

nlm'

'nlm

К этому обстоятельству мы еще вернемся в § 112.

В заключение теории опытов по определению стационарных состояний атомов методом отклонения пучка атомов во внешнем поле рассмотрим более сложный случай, когда первоначальная волновая функция представляет состояние с неопределенным значением энергии.

По общей теории вероятность получить при измерении в таком состоянии значение энергии Еп равна \сп\2, где сп — амплитуда в разложении \|э по собственным функциям оператора энергии1). Покажем, как относится это общее утверждение к определению энергии методом отклонения пучков. Если система находится во внутреннем состоянии я|зл (х, у, г), то полная волновая функция, с учетом движения центра тяжести, будет равна

?(Х, У, Z, х, у, г) = Фп(Х, У, Z)^n(x} у, г), (111.16)

причем Ф/г определяется из уравнения (111.3) (пли вообще (110.11)). Если состояние есть суперпозиция а|эп, то в силу линейности уравнений квантовой механики общая функция имеет вид

?(Х, У, Z, х, у} г)=^]спФп(Х} У, ?)фя(*. у, г). (111.17)

п

Непосредственно на опыте мы измеряем не внутреннюю энергию атома, которая нас интересует, а положение атома X, У, Z. Определим вероятность того, что атом находится в области

X, X + dX, У, Y+dYt Z, Z + dZ. Эта вероятность равна

w(X, Y, Z)dXdYdZ^dXdYdZ\\xY\2dxdydz =

= %\cn\2\^n\2dXdYdZ. (111.18)

п

Измерение энергии атома Еп заключается в том, что мы решаем, к какому из пучков (см. рис. 78) относится атом. Каждый пучок описывается своей функцией Ф/г (X, У, Z). Для того чтобы наш опыт был действительно опытом по измерению энергии атома, нужно, чтобы различные пучки были разделены друг от друга, иными словами, функции Ф/г (X, У, Z) должны быть отличны от нуля в различных областях пространства (для этого должно быть обязательно выполнено условие (111.15)).

Найдем теперь, какова вероятность wm того, что атом принадлежит пучку т. Для этого нужно проинтегрировать (111.18) по объему этого пучка. Мы обозначим этот объем через Vт:

wm= \ w(X, У, Z)dXdYdZ^

= 2 к/» Г- J №n\2dXdYdZ. (111.19)

!) Для простоты мы обозначаем все квантовые числа (п, I, т) одной буквой п.

Если пучки разделены, то все интегралы равны нулю, кроме интеграла

5 \„r2dXdY dZ,

равного единице в силу того, что Фт нормирована. Таким образом,

wm=\cM,2. (111.20)

Но wm есть как раз вероятность того, что энергия атома равна Ет (так как атомы с различной энергией принадлежат различным пучкам). Поэтому рассмотренное нами определение энергии атома находится в полном согласии с интерпретацией величин \ сп |2 как вероятностей найти значение энергии атома Еп. При этом измерительным аппаратом служил сам атом: внутренняя энергия Еп определялась по положению центра тяжести атома.

Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. В § 16 мы утверждали, что измерение Есегда превращает чистый ансамбль в смешанный. Легко убедиться, что в рассматриваемом случае это превращение на самом деле

страница 116
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Скидка за клик в KNS, промокод "Галактика" - Qnap TS-453S Pro - поставка по всей России.
филипп киркоров шоу я 22 апреля
Диван Igor 40003
FIX121-02202F

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.02.2017)