химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

, и паши результаты будут иметь лишь приближенное значение. В частности, формула (109.26) будет справедлива лишь для малых квантовых чисел ns.

§ ПО. Движение атомов во внешнем поле

Рассмотрим движение системы частиц (атома, молекулы) во внешнем поле сил. В целях большей конкретности мы ограничимся системой из двух частиц с массами тх и пи и координатами

Обобщение на случай большего числа совершенно тривиально.

Обозначим энергию взаимодействия частиц через W (хх — х2, У\ — Уг* *i — z2), энергию первой частицы во внешнем поле через U\ (*ь Уъ а энергию второй — через U2 (х2, у2у z2). Уравнение Шредингера для волновой функции системы У?[хъ уи z1% х2, Уч, г2, 0 будет иметь вид

'*-F= + и&+и& + Ф*. (110.1)

х) Квантование энергии колебаний атомов в твердом теле находит свое выражение в квантовом характере теплоемкости твердого тела, которая при Достаточно низких температурах меньше той, которая полагалась бы по классической теории (3k, где k — постоянная Больцмана), именно, теплоемкость твердого тела убывает с уменьшением температуры пропорционально 7"3. Расчет теплоемкости твердого тела на основе квантовой теории изложен почти во всех курсах по статистической физике.

Введем в это уравнение вместо координат частиц Xi, уи *\ и х2, у2, z2 координаты центра тяжести X, К, Z и относительные координаты х, у, z (см. (108.3)). Переходя в (110.1) к этим новым

дх*~ 1 АК2 1 AZ* » х~ dx* 1 А#2 1 АГ2 *

Переменные X, 7, Z и у, z в этом уравнении ввиду наличия поля (L^ и ?/2) не разделяются. Поэтому в общем случае исследование этого уравнения весьма затруднительно.

Предположим, однако, что размеры системы малы. Это означает, что мы ограничиваемся рассмотрением таких систем и таких состояний, когда волновая функция W достаточно быстро убывает с увеличением относительного расстояния г— Уx2-\-y2-\-z2 двух частиц. Пусть это убывание таково, что вероятность найти частицы на расстоянии г>а друг от друга практически равна нулю. Тогда а можно рассматривать как размер нашей системы (например, «радиус» атома, «длина» молекулы и т. п.).

В этом случае в уравнении (ПО.Г) играет роль лишь такие области х, у у г, для которых г<^а. При таком предположении мы можем разложить UY и U2 по степеням х, */, z (если их и U2— достаточно гладкие функции). Это разложение мы напишем в виде

*M* + Yi*. yjrViy> z + Yi*) + u2 (X - y2x, Y-y2y, Z~y2z) =

= U1(X, Y, Z)+U2(X, Yt Z) + -^x+...+-^-z+...«

= V (X, Y, Z) + w (X, Yt Z, x, yt z) + ..., (110.4)

где V (X, Y, Z) есть потенциальная энергия центра тяжести системы, а через w обозначены члены, содержащие х, у, z. Этот член связывает движение центра тяжести с относительным движением. Уравнение Шредингера (ПО.Г) теперь можно записать в виде

lh~dT

й2

+ w(X, Yy Z, x, у у z)xY. (110.5)

Пусть в отсутствие внешнего поля собственные функции для внутреннего движения будут \р°п (х, у, z), а собственные значения энергии Еп. Очевидно, что урп есть решение уравнения

- -|г тпп + W (х, у, г) ура - (110.6)

Если мы учтем влияние внешнего поля, то к этому уравнению добавится член w (X, У, Z, дг, у, z), и мы получим уравнение

-?^V^+W'(.rf у, z)q + w(X, У, Z, х, 0, г)ф=?я|). (110.7)

В это уравнение координаты центра тяжести X, У, Z входят как параметры, и от них будут зависеть как волновые функции, так и собственные значения этого уравнения.

Во многих случаях w (X, Y} Z, х, у} z) можно рассматривать как возмущение. Это обстоятельство позволяет решить уравнение, если известны решения уравнения (110.6). Обозначим собственные функции уравнения (110.7) и его собственные значения через

= У, *. X* У> Z), Еп = Еп(Ху У, Z). (110.8)

Разложим теперь ?(дг, у% 2, X, У, Z, /) по собственным функциям \рп. Тогда получается

?(*, у, г, X, У, z, О ^ 0, zf X, У, Z).

(110.9)

Подставляя это разложение в уравнение (110.5), умножая на ?фт (*» z> ^> Y, Z) и интегрируя по х, у, 2, получим (в силу ортогональности функций т|)я) уравнения для функций Фл:

*А^= -|^^лФт + [У(Х, У, Z) + Јot(X, У, Z)]Ow- ^%(2йгп,ЛхФп + ЬтпФп), (110.9')

где

a,™ = J *!IVA*« dxdydz, (110.10)

&™ = S Ч&?ЭДЯ djf dy dz. (110.10')

Эти два последних члена отличны от нуля лишь в том случае, если функции чрп зависят от координат центра тяжести X, У, Z и приводят к возможности переходов системы из одного состояния в другое. Действительно, если при t — 0 все Ф„ = 0, кроме фя, ф 0, то при t Ф 0 Фп zp 0, и с течением времени из состояния Ф,,' будет возникать суперпозиция (110.9).

Если tyn не зависят от X, У, Z, то а,пп и 6тл равны 0. Если эта независимость имеет место, хотя бы приближенно, то мы можем пренебречь величинами атп и Ьтп в (110.9') и тогда получим

iH^=-m^°* + lvlx> 7j z)+^№ у* 2)]ф- (110Л1)

Это есть уравнение для движения центра тяжести системы в потенциальном поле с потенциальной энергией, равной

Un = V(X} У, Z) + En(X, У, Z), (110.12)

при условии, что внутреннее состояние системы есть /г-е квантовое состояние. Уравнение (110.11) таково же, как уравнение для движения материальной тонки.

§ 111. Определение энергии стационарных состояний атомов методом отклонения во внешнем поле

В этом параграфе мы рассмотрим теорию опытов, в которых определяют энергию стационарных состояний атома, подвергая пучок атомов отклонению внешним полем; важнейший из них — опыт Штерна — Герлаха. Обычно его рассматривают как опыт по определению магнитного момента атома. Будучи рассматриваем более непосредственно, он является опытом по определению энергии атома во внешнем магнитном поле.

Из теории движения атомного электрона при наличии магнитного поля (§ 62) следует, что, поскольку пренебрегают высшими степенями магнитного поля, постольку действие магнитного поля можно выразить через добавочную потенциальную энергию (62.7), равную энергии магнитного диполя (орбитального и спинового) в магнитном поле. Поэтому мы можем применить к интересующему нас случаю теорию предыдущего параграфа. Из расчетов § 62 следует, что в указанном приближении волновые функции электрона г|?л/т не зависят от магнитного поля, а собственные значения энергии равны (62.13)

?*„ = ?Ь + ^(/я±1). (111.1)

*) Для этого достаточно, чтобы поле qJ^T мало менялось в пределах размеров атома а, т. е. должно соблюдаться условие

При этом мы считали поле 3? однородным. Если оно достаточно плавно (для макроскопических полей нужная плавность всегда обеспечена), то его можно рассматривать как функцию координат центра атома X, Y, Z без того, чтобы нарушалась справедливостьJ) (111.1).

°Ж1 'ох

а

0Y

а

а

§1111 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ 475

Таким образом, мы можем написать

Enim(X, У, г) = Е°п1 + ~с(т±\)^Г(Х, У, Z). (111.2)

Волновые функции от X, У, Z зависеть не будут, так

aim

ih

dt

как они не зависят от поля 9$. Стало быть, мы имеем дело со случаем, когда вместо общих уравнений (110.9') для волновых функций Ф, описывающих движение центра тяжести, можно написать уравнения (110.11). Эти уравнения в нашем случае будут

дФ,:

Так как масса атома

страница 115
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
аренда видеопроектора цена
Рекомендуем компанию Ренесанс - модульные лестницы на второй этаж- быстро, качественно, недорого!
барный стул venus
москва склад вещей

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)