химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

зличия в приведенных массах. Таким путем была установлена масса тяжелого водорода (дейтерия): т0=.2тн.

§ Ю!Л СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 407

§ 109. Система микрочастиц, совершающих малые колебания

Рассмотрим сначала систему из двух одинаковых частиц, совершающих малые колебания. Обозначим отклонение первой частицы от положения равновесия через хг, а второй—через х2. Потенциальная энергия U (хъ х2) для малых отклонений может быть разложена в ряд

V(xl9 хг) = ^х\ + ^-х1 + кх1х2 + ... (Ю9.1)

Здесь р —масса частиц (одинаковая для обеих), со0 —частота колебаний частиц в отсутствие взаимодействия между ними, Хххх2 — энергия взаимодействия частиц (для малых хх и х2).

Оператор полной энергии частиц, имеющих потенциальную энергию (109.1), имеет вид

" = - J 5 + Т1 -1Щ + ^ ^ + (Ю9.2)

Из классической механики известно, что для системы частиц, совершающих малые колебания, можно ввести так называемые «нормальные координаты» qu q2y в которых потенциальная энергия U выразится в виде суммы квадратов qu q2y а кинетическая энергия —в виде суммы квадратов соответствующих импульсов, так что мы будем иметь дело с двумя независимыми нормальными колебаниями. В рассматриваемом частном случае эти нормальные координаты связаны с х^ и х2 формулами

*i = J7|(<7I + <72), х2 = щ(д1-д2). (109.3)

Эта особенность нормальных координат сохраняется и в квантовой механике. Введем в (109.1) вместо хх и х2 нормальные координаты qi и q2. Для этого заметим, что

^ _ ^ **хг d^dx2 _ \_ Iд\р д\р\ dq1 дх\ 0q1 дх2 dqx У 2 \дх1 дх2 ) *

дЦ 1 РФ 02Ф , 9 \ Т

dq\ 2 \дх\ dxi~i~ дхг dxj'

подобным же образом

dql ~~ 2 \dxi дх\ дхг дх2)'

Следовательно,

ctef + dxl ~~ dq\ dqj '

На основании этого равенства получаем

где

(icof = ucof, + Я, |лсо.2 = pcojj — X. (109.5)

Из (109.4) следует, что гамильтониан двух связанных осцилляторов в нормальных координатах представляется в виде суммы гамильтонианов для двух независимых осцилляторов, одного с частотой (Ох и другого с частотой со- (тот же результат, что и в классической механике).

Найдем квантовые уровни и соответствующие им собственные функции системы связанных осцилляторов. Оператор содержит координаты qx и q2 и, следовательно, волновая функция я|) должна рассматриваться как функция qL и q.2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний нашей системы имеет вид

~ 2,U dq\ + Т~ W 2Ц ^ + ~2~ ^ ~ (ШУ Ь)

Это уравнение легко решается разделением переменных. Для

этого положим

Ф(<7ь fc) = 1>iM " Ы<7») (Ю9.7)

и

? = ?х + ?2. (109.8)

Подставляя (109.7) и (109.8) в (109.6), деля результат на tyi(qi)ip2(q2) и приравнивая порознь постоянным ?\ и Е2 члены в левой части, зависящие от qx и q2 соответственно, получим

-?1 + ^=^, ("»•«'>

Первое из этих уравнений есть уравнение для осциллятора с частотой соь а второе —для осциллятора с частотой со2. Поэтому собственными функциями уравнений (109.9) будут

*ПМ = ^«Ч(У (B = J/"1^-^). (Ю9.10)

а собственными значениями

ЯЯ1 = й©1 (л! + , «1 = 0, 1, 2, ... (109.11)

Подобным же образом для уравнения (109.9') имеем

^2(?2) = |/^г_2?Я„2(Ы (t2 = L/^?2), (109.10') ?„2-/гсо.,(л2+[V «2 = 0,1,2,3,... (109.11')

§ 1091 СИСТЕМА МИКРОЧАСТИЦ, СОВЕРШАЮЩИХ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 469

Отсюда следует, что собственные функции исходного уравнения (109.6) имеют вид

ФЙ1Я2(<7Ь 42) = ^Л1Ы^2Ы, (109.12)

а соответствующие собственные значения оператора энергии равны

ЕН1„2 = + у) + + ^. (109.13)

Нулевая энергия системы равна

Яо„ = ^ + ^. (Ю9.14)

Вероятность найти нормальные координаты, лежащими в интервалах <7Ь qi-^-dqi и q2y q2-\-dq2, равна

w(qi, 42) dq1dq2 = ty'nln2(qi> q-)dqldq2. (109.15)

Если мы желаем определить вероятность того, что координаты частиц лежат в интервалах хи xx^-dxi и х2, x2-\-dx2, то для этого достаточно заметить, что

dqi dq2 = dxx dx2l

и выразить в (109.15) qx и q2 через хг и х2. Тогда получим w (хъ х2) dxx dx2 =

= У*п1Пш(--г-=(х1 + х2), ^fa-x^dXidxt. (109.16)

Сходные результаты получаются для системы с любым числом степеней свободы. Пусть мы имеем N частиц, совершающих малые колебания около положения равновесия. Обозначим отклонения k-й частицы от положения равновесия через xki yky zk. Тогда потенциальная энергия равна

N

U = Y 2 (AikXiXk + Bikyiyk + CikZiZk + DikXiyk +

i, ?=1

+ EikXiZk + Flkyizk) +..., (109.17)

причем величины Aik, Вц{, Cikl Dik, Eik, Fik суть вторые производные потенциальной энергии по смещениям. Так, например,

Aik =

dxi дхь'

Из классической механики известно1), что в этом случае можно ввести нормальные координаты qs, s = 1, 2, 3N, такие, что

г) См. например, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, «Наука», 1973, § 23.

гамильтонова функция распадается на сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов.

Нормальные координаты qs и декартовы xki ук, zk связаны ортогональным преобразованием

qs^^tesnXk + Vskyk + ysbZk), s=l; 2, 3jV, (109.18)

к

где ask, psfr, ysk суть коэффициенты преобразования. В нормальных координатах ^ — гамильтониан нашей системы

N л/

^=2(~Јv*)+2 2 {Aik3CiXk+---+F",yiZk) (109Л9)

к = 1 i,k = \

преобразуется к виду

#=У, (Ю9.20)

3N

\ ~~ 2[i dq* ^ ~~2

S — 1

где [х —некоторая эффективная масса, a cos —частоты нормальных колебаний. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

^(^ь ?2, q3N)

Z \ 2и dq* "Г 2 ^ (

- СТ^ь ft, <Ы- (109.21)

Очевидно, что это уравнение распадается на SN уравнений для 3N независимых осцилляторов, если представить 4я в виде произведения функций- от qly q2y q3N- Уравнение для осциллятора, представляющего s-e нормальное колебание, будет

~ 2|Г -Щ51 + 1Г № Ш = ^ Ы. (Ю9.22)

Отсюда

*«,Ы = 1/^«",/,йяя,(Е,). b = )^fc. (Ю9.23)

Ens = hСобственные же функции и собственные значения всей системы осцилляторов определяются выражениями

tynin2...ns...n3N [qi, #2» •••» Rs> • Яш) —

= $п1 Ы (ft).. .Уп5 (ft) • • -^зл/ (ft;v)> (109.25)

^л1/12...я5...лз^:==--Йй)1(/г1 +-2-j+ ... + Й0^я5 + у) + •••

... +^созЛг(пзл/ + у), (109.26)

§ HOI

движение лтомов во внешнем ПОЛЕ

471

где п1% По, ns, ..., Им — целые положительные числа, включая нуль. Нулевая же энергия системы равна

?О = у К + TO* -h... + (x)s +... + СОЗДГ). (109.27)

Перебирая всевозможные значения чисел п5 в (109.26), мы получим все квантовые уровни системы колеблющихся частиц. Из (109.26) следует, что для определения этих уровней достаточно знать частоты нормальных колебаний сод.

Примером систем, имеющих квантовые уровни вида (109.26), могут служить молекулы и твердые тела. И в тех, и в других атомы совершают малые колебания около положений равновесия1).

Заметим, что при больших амплитудах колебаний следует учесть высшие члены в разложении потенциальной энергии, именно, члены

вида "ЗГ dx-*dykdzt ••• и т- п- Колебания тогда будут нелинейными

страница 114
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
хранилища для вещей
линзы ultra flex 450 руб
Joseph Joseph Clean Store
купить учатсок по новой риге

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)