химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

mitiu \ Jm) являются действительными числами и называются коэффициентами Клебша — Гордона (Жор-дана)1). Они равны нулю при тфтх-\-тъ так что двойная сумма в (106.1) фактически сводится к однократной. Функции У7/,/8 зависят от тех же переменных, от которых зависят функции У/,,К|, Yjtmt. В частности, если одна из них есть функция угловых координат, другая — спиновых, то соответствующая У"/,/, называется сферической функцией со спином. Именно этот случай был нами рассмотрен в § 63, где находились собственные функции полного момента — спинового и орбитального для одной частицы. Коэффициенты при YUm и YjiTnA1 в формулах (64.28) и (64.28') и суть не что иное, как коэффициенты Клебша — Гордона для случая2) /2 = 1/2. Спиновые волновые функции в этих формулах заменены их значениями (01).

Выражение (106.1) допускает обратное преобразование

Уьт?1*ь= "if 2 (hhmimil Jm) Y7hl; (106.2)

?/ = L/I —/SI tn= — J

(сумма по т содержит фактически один член т = т1-\- т2).

Из условий ортогональности систем функций Yjm и Y™-h-h следуют условия ортогональности для коэффициентов Клебша — Гордона, а именно

h /2

2 2 (hkmlml I Jm) (/1/2^1^2 I J'm') = bjj'bmm; (106.3)

rrii ~ — /1 m2—— /2

/1 4- /2 У

2 2 (/l/V"lm2 I «^) (/l/V"M I ==6OTLMJ6FFL2M,, (106.4)

J = \/i — h\ m= — J

J) Подробно см. К. Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949. По поводу обозначений см. А. С. Давыдов, Теория атомного ядра, Физматгиз, 1958.

1

2) т в (64.28') соответствует т1 в (106.1), / -> /ь m± -» т.

2 (hhmim* I UJimM I = 2/^1 6/В/56«4/П;. (Ю6.5)

§ 1001 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 457

Коэффициенты Клебша — Гордона удовлетворяют также некоторым условиям симметрии, а именно,

(/l/V"l'»3 I J*") =-"? (— О'1"'" H~~J (/1/2» — '"L, — ™2 I <Л — /Я), (106.6)

{HHmimi I = (— l)/l + /3_>/ (HHM^H I «/w), (106.7) l//r2/i+ 1 (HHINITIU I /m) =

=.-(-1)/,-Ь^]Л:2У-|-1(//г> -m, m2|/lf -я?1), (106.8)

У 2/2+ 1 {HH^HM^JM)

= (_!)/,-«1/2У+1 (/Уть -m|/2i -m2), (106.9)

K2/i + 1 (/i/VHim2 |Ут)=

= (— \Y'*-J+M>V2J + 1 (/2Ут2, -m|/lf -т2). (106.10)

Приведем табл. 2 и 3 коэффициентов Клебша — Гордона для /2 = -i и 1.

Таблица 2

1

Коэффициенты Клебша—Гордона |уг -у miW21

• . 1

/1 + Т

2/1 +1

1 \1/2

2

Я —т + 2/1+1

1 \1/2

2

2/1 + 1

1 \1/2

2

1 \1/2

2/Г-Й

1 1 1 2> 2 ' 2

00 J =

1 1 1 J

2 ' 2 ' 2 ' 2

00) = ' (Ш6Л2)

тг — 1

т3 = О

i/ij

/i+l

Г (1 + т) (] + т+\) 11/8 L (2У1+1)(2/1 + 2) J

(/i-m+l)(/i + m + l) "И/*

(/i-/w)(/i-w+D I1/2 (2/1+1) (2/1 + 2) J

h

_\Ui + m)Ui-m + W2 L 2/i(/i+D J

K/i 0'i + D

(/l

2/x (A+1) J

/1-1

'(/i-m)(/t-w+l)]'/3 2/i (2/1+1) J

-[?

Д(2/1+1) J

(/i + m+l)(/t4-m)]W2 . 2/1(2/1 + l) J

т. е. волновая функция системы двух антипараллельных спинов будет

S(sgl, S;2) = -i-.rS ,1 (s,i)S i(s22)~S i(szl)Sx(Sg2)] (106.13)

V2l + 2 ~2 "2 +2 J

(см. (121.13)).

Общая формула для коэффициентов Клебша — Гордона приведена в работе Вигнера1).

§ 107. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени

Физическое пространство обладает свойством однородности и изотропности. Время— свойством однородности. Кроме того, в отношении обратимых процессов имеется равноправие по отношению к знаку времени.

Эти свойства пространства и времени отображаются в основных законах сохранения квантовой мехацики для замкнутой системы

А. Закон сохранения энергии

Рассмотрим следствия однородности времени. Произведем бесконечно малый сдвиг во времени At. Тогда волновая функция системы г|> перейдет в а|з' =я|> (хь х2, ..., х#, t-\-At). Это изменение функции мы можем рассматривать как действие бесконечно малого унитарного преобразования St (см. §§ 28, 44):

Ф' = ЗД, (107.1)

где St=\ -\-iLAt и L —эрмитов оператор.

С другой стороны, ч]/ — я|з = -^7 At и, сравнивая с (107.1), получим

dt . л .

ж=

Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера и

л 1 Л

дН Л

должны зависеть от времени, т. е. -дт- = 0, а следовательно, и

Но в силу однородности времени L, а следовательно, и Я не

dt

— = Н] — 0, (107.2)

l) Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.

что и выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе.

Б. Закон сохранения импульса

Рассмотрим замкнутую систему частиц и произведем смещение всех координат (радиусов-векторов) xk на бесконечно малую величину Ах. Тогда

'ф' = i|) (хх + Ах, Хдг + Ах, /) =

n

=--i|>(xlf xNt t)+Ax Vftip, (107.3)

где — градиент по координатам k-й частицы.

Рассматривая это смещение как бесконечно малое унитарное преобразование

S.v =--\ + ig Ах, где ^-эрмитов оператор, найдем

N

g=-i^yt. (107.4)

k= 1

Оператор g только множителем Н отличается от оператора

полного импульса системы Р (103.1). Так как операции смещения в пространстве Sx и во времени 5/ могут выполняться в любом порядке (в отсутствие внешних сил), то Sx и St коммутируют,

АЛ Л Л J 1 J

т. е. [Hg] = 0, а следовательно, [РН] = 0. Это означает

f- = 0, (107.5)

т. е. сохранение полного импульса замкнутой системы.

В. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим бесконечно малое вращение системы в изотропном пространстве вокруг оси OZ на угол А<рг. Это вращение приведет к изменению координат k-й частицы на

Axk = {ykAyz, — xkAyZ} 0}. (107.6)

Новая функция г}/ =-ф (xt + Ахь xN-{-AxN, f) может быть получена из первоначальной с помощью бесконечно малого унитарного преобразования

S(pz=\ + imzAyz, *' = «V|>. (Ю7.7)

С другой стороны, учитывая (107.6), получим

^(Xi + Axx, XJV + АХДГ, /) =

N

= iMxi. 0~ 2 [Xkd^yu~yklfk)^ (107-8)

k=l {

Сравнивая (107.7) и (107.8), получим

N к = 1

т. е. т- только множителем отличается от оператора Mz проекции полного момента на 01. Аналогичные соотношения получим для вращения вокруг двух других осей и, таким образом,

5ф=1+-?-МДф, (107.10)

где М-оператор момента импульса системы.

В силу изотропности пространства и однородности времени

А Л

операторы Sm и Sh а следовательно, Ми// коммутируют между

Л А

собой, т. е. [МЯ] = 0. Поэтому

А

^г = 0, (107.11)

т. е. момент импульса системы есть интеграл движения,

Г. Закон обратимости процессов в квантовой механике

Рассмотрим преобразование Т обращения времени: /-> — /. Уравнения движения инвариантны по отношению к этому преобразованию для случая обратимых процессов. В квантовой механике все процессы обратимы 1). Поэтому операции Т должно соответствовать некоторое унитарное преобразование волновой функции и операторов, отображающее свойство обратимости.

Рассмотрим уравнение Шредингера сначала' в отсутствие электромагнитных полей

01** = $% U = fa(-ib4)* + U. (107.12)

При замене t на —/ мы получим

= &!>', (107.120

где г|/ = г|; (хъ ..., xN, — t) = ST^.

Сравнивая (107.12') с уравнением Шредингера для комплексно-сопр

страница 112
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
стоимость начального обучения на пк
инженерные системы обучение
fissler intensa купить
Protherm Пантера 25 КТО

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)