химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

число 0, 1, 2, 3, ..., либо полуцелое 7-2i 3/2, 5/г. ... в зависимости от числа частиц и их спина. Неравенство \m\^J означает, что m = J, 1, J — 2, — Иначе говоря, мы имеем всего 2/+1 квантовых ориентации полного момента относительно любого направления (ОТ).

Заметим, что так как у электрона спин полуцелый'^/г), то для четного числа электронов J всегда целое, а для нечетного — полуцелое.

Проекции (105.2), (105.2'), (105.2") полного орбитального момента

N

М1==?№ (105.16)

1

и полного спинового момента

N

Ms=^]sk (105.17)

подчиняются тем же правилам перестановки, что и проекции полного момента. Поэтому они квантуются по аналогичным формулам

Mi = h2L(L+\), L = 0, 1, 2, 3, (105.18)

Мг1=Пти \mL\^L, (105.19)

M; = U2S(S+1), S = 0, 1, 2, 3, или S = 1/2, 3/2, V2,

(105.20)

Mzs = Hms, |ms[<5. (105.21)

При заданном значении полного орбитального момента L и заданном значении полного спинового момента S возможны различные значения / в зависимости от взаимной ориентации векторов Мл и Ms. Рис. 48 (стр. 274) может служить иллюстрацией сложения этих моментов.

Очевидно, что J может принимать все значения от L + 5, соответствующего параллельной ориентации ML и Ms, до \L — S соответствующего антипараллельной ориентации этих векторов,

т. е.

J = L + St |L-'r5-l|, |L-f-S-2|, \L-S\. (105.22)

Всего (2S+1) значений. Все состояния с одними и теми же Lit S образуют один мультиплет —группу уровней, находящихся, ввиду слабости взаимодействия между спином и орбитальным движением (ср. § 65), в соседстве друг с другом. Кратность (число уровней) в мультпплете равна, как мы видим, 25-1-1.

Полный момент системы /, ее орбитальный момент L и спиновый момент S служат для обозначения терма атома в целом. Так же как и для одного электрона (ср. § 65), термы с L = = 0, 1, 2, 3, ... обозначают S, Р, D, F, ... (па этот раз большими буквами) соответственно. Справа внизу приписывают значок, указывающий значение полного момента «/, а слева вверху значок кратности мультиплета, к которому принадлежит терм, а тем самым указывают и полный спин. Например, *F*f3 означает терм, для которого L — 3, J = 3А>> S = 3/2; GS*/2 означает терм, для которого L = 0, J ~5/2» S = */2.

Формула (105.15) доказывается сразу, если заметить, что отдельные члены в сумме (105.10") коммутируют между собой и, следовательно, могут быть одновременно приведены к диагональному виду, так что собственное значение Му равно сумме собственных значений Мz-\~sz- Но собственные значения

последних суть hmu, где т^ —целое или полуцелое число, смотря по значению спина частиц. Таким образом,

N N

Мг= 2 1шь = Ът, т = J mk- (105.23)

k = \ /е = 1

Для определения собственных значений М2 введем операторы

А=Мх-\-Шу, B = jfix—iMy.

Пользуясь (105.12), получаем

АМг-МгА = —ПАу ВМг-МгВ = Я?1. (105.24)

Напишем эти равенства в виде произведений матриц, беря представление, в котором Mz диагонально. Тогда получаем

Вт'т"Ппг" — Пт'Вт'т" = ПВт'т"> J

или

Ат'П~№-т' + \) = 0, Bm^(m"-mf-\) = 0. (105.26)

Отсюда следует, что единственные неисчезаюшие элементы А ТА В суть Am, т-\ и Bm,m+i- Оператор квадрата полного момента М2 можно выразить через операторы А и В двояким образом, именно,

M2--=AB + Mz — Ш2, (105.27)

М2 = В А -j- Ш + Шг. (105.27')

Отсюда

AB = M*+-j-(u:--!)2, (Ю5.28)

AUAi + Ј-(A, + Ј)2. (105.28')

Беря диагональный элемент (га, га) от этих равенств, получим

(ЛВ),пт = >4т>т_1^_Ьте = М2+^-й2(т-^2, (105.29)

(BA)mm = Bmtm+1Am+lt т = Л!» + ?42 -й* (m + ^J. (Ю5.29')

Будем теперь считать величину М* заданной. Тогда возможные значения | га \ неизбежно ограничены. В самом деле,

собственное значение М1-\-М'у не может быть отрицательным. Обозначим нижнее значение га через га', а верхнее — через га". Тогда из (105.29) и (105.29') следует (так как Ат.^ т.__, = 0, Вт,_х> т, = 0 и Ат„+и от* = 0, т« + 1=0)

Л*2 + ^=/^га'--^( .

Ш I 1 \2

M2+'i = ^(V'+2j .

Отсюда

«2

1 ГМ2 1

'=2-Уж+-4-> (,05'30)

1 -ш Г М~ 1

т"=---2- + 1/ т»+т- (105-30')

Разность га"—M'-F-L есть число целое, равное числу различных возможных Л!г при данном М2. Обозначим га" —га'+1 =2У + 1. Тогда из (105.30) и (105.30')

получаем

или

Л1Й = /.2У(У + 1). (105.31)

В силу полной равноправности положительных и отрицательных значений Мг мы должны положить т" — — т'. Вместе с (105.15) это нам дает

1 3

\tn где ra = 0, jt 1, j_- 2, ..., it У или m = s. 2 , .Ly ± 7.

При доказательстве мы пользовались только правилами перестановки операторов проекций импульса (105.11). Так как таким же правилам перестановки подчиняются порознь проекции оператор:! полного орбитального момента (105.16) и полного спинового момента (105 17), то тем самым доказаны и формулы (105.18), (105.19) и (105.20), (105.21).

§ 1061 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 455

Из этих формул и из (105.14) следует, что оператор скалярного произведения

_ А А А Л АО A t>

2ЛШ5 =ЛГ-Ж + Ms-имеет собственные значения

2(MMs) = h*[J (J + \)-L(L+\) + S(S + l)], (105.32)

так что формула (64.13) для одной частицы является частным случаем (105.32).

Повторяя рассуждения § 74, можно легко вывести формулу для энергии в магнитном поле для системы частиц

так что (74.23) будет частным случаем (105.33) для одной частицы. Формула (105.33) дает расщепление уровней в магнитном поле для системы электронов (сложный атом).

§ 106. Собственные функции оператора момента импульса системы. Коэффициенты Клебша—Гордона

Собственные функции оператора полного момента системы являются сложными функциями угловых и спиновых координат частей системы и их квантовых чисел. Однако в большем числе часто встречающихся случаев их можно выразить через функции моментов импульса отдельных частей.

Рассмотрим наиболее простой случай системы, состоящей из

А А

двух подсистем. Пусть Мг и М2 суть операторы моментов импульса этих подсистем, коммутирующие друг с другом. М± и М2 могут быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т. д.

Полный момент импульса будем считать интегралом движения. Состояние системы может быть охарактеризовано как квантовыми числами /i, /2, ти ш2 (/ь /2 — собственные значения моментов импульса подсистем, тъ т2 — их проекций), так и четверкой чисел У, т, /ь /о (J, /л — собственные значения полного момента системы и его проекции, причем т = т1-\-т2 (105.23)).

Поставим задачу определить волновые функции системы через волновые функции подсистем.

Пусть Yjimi — общие собственные волновые функции оператоАЛ А Л

ров Mi' и MXzy Yjsmi то же для Ml и М2г. Тогда произведение YjltniYj2m2 будет собственной функцией оператора проекции полного момента

Мг = М1г + М2г

с собственным значением m = m1 + m2.

Обозначим через У""/,/, общую собственную функцию операторов УЙ2 и М-. Ее можно представить как линейную комбинацию

произведений Y-hmyh«4\

У'кп =2 ? (hhJnitn21 Jm) YhnhYkm2. (106.1)

Коэффициенты (j\j*

страница 111
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
домовые знаки и адресные таблички изготовление
медсправка для оружия юзао
TRAV.76.0312
обклеить машину рекламой цена

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)