химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

М есть масса всей системы, a р7—приведенная масса центра тяжести / первых частиц и (/+1)-й:

Л= 1

1 = -Г— + (Ю4.8)

и

л/

V д д д

А™ дх. д1ХТ ' дХ'

(104.9)

Из этих формул следует, что гамильтониан (104.1) может быть написан в виде

N- 1

А Л 2 NSH ft 2

w .д_ V2 — У — -4+ 1Г(|ь Iiv-ь чь Si, • •> SAT-I), (104.10)

причем оператор

есть оператор кинетической энергии центра тяэюести всей системы, а оператор

N— 1

ft = - 2 (104-12)

/ = 1

есть оператор кинетической энергии относительного движения частиц. Существенно, что в энергию. взаимодействия W координаты центра тяжести не входят. Преобразуя |ь g,v ъ чь • • • • > ч1лг-1, Si, • • •, к любым новым относительным координа-там, qlt q2, ..., ^злг-з» мы не изменим оператора Т. Поэтому вообще вместо (102.6') можно написать

A = -§ffiV»+JWF ^2. .... <7злг-з). (Ю4.13)

где Hi есть гамильтониан для относительного движения, который не содержит координат центра тяжести. Далее, на основании (104.9) и (103.1) получаем новое выражение для оператора полного импульса

P* = ~inЈx> Py = -iHd?' ?* = -iA:dz- (104л4)

Волновую функцию "Ф" будем рассматривать как функцию координат центра тяжести Ху Y> Z и относительных координат qu q2, ... . ••> Язы-З' Уравнение Шредингера с гамильтонианом (104.13) допускает разделение переменных, если положить

W(X, Y, Z, <7Ь q2, <7здг з, 0 =

= Ф(Х, F, Z, t)yJp(qlt q2, q3„-3, t). (104.15)

Подставляя (104.15) в уравнение Шредингера, получим

I А ^ *+f=- * т?2Ф+фад. (104.16)

Разделив это на и приравнивая порознь члены, зависящие от X, Y, Z и с7ь д2> • <7злг-з> мы найдем два уравнения:

ih™ = -m™> <104Л7)

/Й^ = Я,ф. (104.18)

Первое из уравнений относится к движению центра тяжести, второе — к относительному движению. Как мы видим, первое есть уравнение движения свободной частицы с массой М: центр тяжести в отсутствие внешних сил движется как свободная материальная точка. Простейшее, частное, решение уравнения (104.17) есть волна де Бройля

Ф(Х, Y, Z, t) = -*e*lEI-p*x-pi>r-p'*>. (Ю4.19)

Она же, как следует из (104.14), есть собственная функция oneАЛЛ

ратора полного импульса РХ, РУ, РГУ принадлежащая собственным значениям РХ, РУ, PZ. Е есть собственное значение кинетической энергии движения центра тяжести системы

В = ~(РХ + Р1+Р1).

Длина волны К этих волн, как это следует из (104.19), так же как и для элементарной частицы, равна

Х=^т=т> р = УРХ+Р$+Р1* (Ю4.20)

где V — групповая скорость движения центра тяжести.

Вывод этот важен, так как особенно подчеркивает, что волны де Бройля не являются какими-то колебаниями, связанными с природой (например, структурой) частиц, а выражают в квантовой области общий закон движения свободных частиц или закон движения центра тяжести системы, не подверженной действию внешних сил.

§ 105. Закон сохранения момента импульса системы

микрочастиц

Пусть мы имеем систему из N частиц. Обозначим операторы проекций момента импульса k-й частицы на оси координат через

Мх, Ml

^-in(y^-Zkwk\ (105Л)

№=-in{**wr»*Јy (105Л">

где xkl ykt zk — координаты k-n частицы.

Соответственно этому операторы проекций полного момента

Л. Л А.

импульса всей системы частиц Мх, Му, Mz определим по формулам

(105.2)

/2=1 (105.2')

Mz=z мкг.

ft = l (105.2")

N

Покажем, что оператор производной по времени от момента импульса равен моменту сил, действующих на систему (точнее, оператору момента сил). Согласно общему определению производной оператора мы имеем

clM

±=UHMX-MXH). (Ю5.3)

dt h

Гамильтониан Я, согласно (102.6'), равен

N N

Для вычисления перестановки операторов в (105.3) мы должны иметь в виду, что каждое слагаемое Мх в Операторе Мх дейА

ствует лишь на те члены в Я, которые содержат координаты k-н частицы.

Операторы V| коммутируют с оператором Мх. Действительно, как мы знаем, оператор кинетической энергии можно представить

в виде

А

где Тгк — оператор той части кинетической энергии частицы, которая отвечает движению частицы по радиусу-вектору rk, а (М*)2 — квадрат момента импульса k-ih частицы. Мх коммутирует и с 7Y ,

и с (М*)2, поэтому Мх коммутирует с —~—Щ.

Вычислим теперь перестановку Мх и Uk. Имеем

U№ - MkxUk = - ih {Uk [yk ±-гк A) - [yk A - zk ?-) Vk\ =

= т[у>ъ-г>ш)' (105'6)

Наконец, найдем еще перестановку

VkjMkx - MkJUkj =

/ 0Ukj dUk/\ ..dUk/f Zk — z, Vk — yA

=л [у* irk - г*ж!=lh ж, \Ук—~г* -*r)=

VI / ииk V-Uk\ VI . VUkj *

dt L\yk~dik-~Zk'duT)~ L (гкУ>-укг»щ;7^г

Последняя сумма равна нулю, в чем убеждаемся сразу, переменив местами индексы k и /. Поэтому получаем

N

dMx V / 0Uk .. dUb\

= Я (^/ - -^т --• (Ю5.7) Подставляя (105.6) и (105.7) в (105.3), найдем

~ 2 <105-8>

dt

dMx YI / V / ча(/*/ 1

Стоящее справа выражение есть не что иное, как оператор проекции на ось ОХ суммы моментов внешних сил, действующих на систему. Совершенно таким же образом получаем

-dr=-l\Zkd^-x^h (105-8)

k — 1

Таким образом, мы получаем теорему, известную из классической механики: изменение момента импульса в единицу времени равно моменту внешних сил, действующих на систему. Эта теорема в квантовой механике, подобно теореме о полном импульсе, формулируется для операторов.

Если момент внешних сил равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:

dMK dMn dk2

ТГ = -АГ = -ЗГ-0- <105-9>

Следовательно, при отсутствии внешних сил среднее значение момента импульса Мх, Ми, Mz и вероятности w (Мх), w (Му), w(Mz) нахождения определенного значения какой-либо из проекций момента не изменяются с течением времени.

Если учесть спин частиц, то оператор полного момента импульса должен быть определен по формулам

Mx==^(Mx+skx), (105.10)

Му=1> №ы+*% (105.10')

k = \

N

M,= 2 (Mz+s*)> (105.10")

где sk, sk, s* — операторы (двухрядные матрицы) проекций собственного механического момента k-й частицы. Теорема о сохранении полного момента импульса остается в силе и в этом случае. Если нет сил, действующих на спины, то доказательство этой теоремы ничем не отличается от приведенного выше, так как при таком предположении гамильтониан системы коммутирует

со всеми операторами sk.

Так как операторы Мх, Му, Mz, sx, sy, sz, принадлежащие разным частицам (разные k), коммутируют между собой, то из известных правил перестановки для компонент орбитального момента (25.5) и спинового момента (59.1) одной частицы легко получить правила перестановки для полного момента импульса системы частиц:

MxMtJ = iflMz, (105.11)

А А

-MsMy = : ihMxt (105.1 Г)

MZMX - мЖ = ifiMy. (105.11")

М2МХ -МХМ2 = 0, (105.12)

М*Му -МУМ2 = 0, (105.12')

№Мг- -М2М2 = о, (105.12")

где Al2 есть оператор квадрата полного момента импульса

М2 = Д1Н- Щ + Щ. (105.13)

Ниже на основании этих правил перестановки доказывается, что полный момент импульса для системы частиц квантуется по формулам

M2 = h2J(J + \), (105.14)

М, = йт, |т|причем J есть либо целое

страница 110
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Кликните, закажите выгодней в KNS с промокодом "Галактика" - процессор для ноутбука i5 цена - 3 минуты пешком от метро Дубровка, есть своя стоянка.
Кофейный столик RB 2772
MIK Стул 2114S Princess
установка зимнего пакет на кондиционеры

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.02.2017)