химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ой величины.

Мы будем считать, что волновая функция я|з (хъ ..., zN, t) так же, как и волновая функция одной частицы, подчиняется уравнению Шредингера

тд? = Н$, (Ю2.6)

причем Н означает здесь гамильтониан для системы частиц. Последний, в полной аналогии с классической гамильтоновой функцией для системы N частиц с массами тъ ..., тк, mN

н ^ 2 2щ"^иь Уку 2ь (ц 2 Uk/ y*f Zki *h yj'

k = 1 * k -fz j = 1

где Uk (x/t, yky zk, 0-~ силовая функция k-й частицы во внешнем поле, a Ukj(xk, zj) — энергия взаимодействия k-й и у'-й частиц, напишется в виде

N

й« 1

Н = 2 ~~ 2^ V* + Uk Уь* гь О] +

+ 2 Ukj(Xk> Ук, *к, Xj, у,; Zj)t (102.6')

где

ч 1 ^ 1

Очевидно, что этот гамильтониан представляет собой простое обобщение гамильтониана для одной частицы1).

Из уравнения (102.6) следует уравнение непрерывности для вероятности w в пространстве конфигураций. Чтобы получить его, умножим (102.6) на и вычтем сопряженную величину. Имея в виду значение гамильтониана (102.6'), мы получим

N

k = l

Полагая

J* = ^(*V*t*-»*V*4>). (Ю2.7)

г) Можно было бы выписать гамильтониан при наличии магнитного поля и с учетом спина. Он равен сумме гамильтонианов отдельных частиц плюс члены, определяющие взаимодействие частиц между собой.

§ 102] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ 443

д д д

где Vfe — оператор с проекциями ^—, щ, мы можем написать полученную формулу в виде

N

div*J* = 0. (102.8)

Это уравнение показывает, что изменение вероятности конфигурации w обусловливается потоком этой вероятности. J* есть функция координат всех частиц (и времени) и имеет смысл плотности тока, обусловленного движением k-й частицы при заданных координатах всех остальных (N — 1) частиц. Чтобы получить плотность тока k-й частицы \k при любом положении остальных, следует интегрировать (102.7) по всем координатам, кроме координат k-й частицы:

U (*k, Ун, ?k, 0 = J h (*ь • • •, xk, ykt zky ..., zN, t) dQk. (102.9)

Этот ток также удовлетворяет уравнению непрерывности, но уже в трехмерном пространстве. Именно, интегрируя (102.8) по dQk, мы получаем

?щ w (хъ ..., zNy t) dQk =*

д С д

= dt J W (*ь --•> *N, t)dQk = -fiW(xk, yk, zky t).

Далее,

N N

2 \ div/г'J*' dQk = \ div* J* dQk + 2] \divk'lv dQk.

Так как dQk (см. (102.4)) как раз содержит координаты всех частиц кроме k-й, то интегралы вида ^ divft'J*' dQk можно преобразовать в поверхностные, и если г|) исчезает в бесконечности, то они равны нулю. Так как, напротив, в интеграле ^diVk 3kdQk дифференцирование и интегрирование идут по различным переменным, то

5 dlvjk clQk = divA \ h dQk = divAJft.

Таким образом, мы получаем закон сохранения для каждой из частиц

ац(у, *>-t-divA(W*. 0 = 0, (102.10)

сформулированный уже в трехмерном пространстве (xk, tjk, zk).

§ 103. Закон сохранения полного импульса системы

микрочастиц

В классической механике, как известно, полный импульс системы частиц, находящихся под действием лишь внутренних сил, остается постоянным. При этом центр тяжести системы движется по инерции прямолинейно и равномерно. Если же имеются внешние силы, то изменение полного импульса в единицу времени равно результирующей всех внешних сил, действующих на частицы системы. Мы покажем, что эти положения классической механики сохраняют свою силу и в квантовой области. Определим для этой цели оператор полного импульса всех микрочастиц сиетемы Р. Под оператором полного импульса всей системы частиц

А.

мы будем подразумевать сумму операторов импульса Pk всех частиц k=\, 2, ..., N:

р= s Рш^-т i; v*. (Ю3.1)

k=i k=i

л.

Вычислим оператор производной импульса Р по времени. Согласно общим формулам квантовой механики

л.

d-[t=]r{HP-PH). (103.2)

Подставляя сюда Н из (102.6') и замечая, что Р коммутирует

k = 1

N

с оператором кинетической энергии частиц Т = — /, —vl» мы

dP dt

получим, что

N N \ I N

k = 1 kzjzj=\ I \k = 1

2 V,)fi Uk+ S Uk)\. (103.2') Далее, замечаем, что

uk (S v*) -(S v.) Uk=- VkUk. (юз.з)

N

Наконец, вычислим перестановку оператора ^] VA и взаимной

k = i

энергии частиц 2 Ukj- При этом мы сделаем предположение, что

силы между частицами зависят лишь от взаимных расстояний между частицами rkJ так, что Ukj — UkJ(rkj). Тогда на Ukj дейст§ 104] ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ 445

N

в уют только те операторы у*' из суммы 2 Vb Для которых k'=k или k'=j, т. е. на UkJ действует пара: у^ + у/. Имеем

С7*/ (V* + \j) - (V* + V;) = — Vft^fty ~ VjUkj> (Ю3.4)

HO

dl^y rkj- dUkj dUkj rkj

VkUki = rf^r = -5^ • v V/^y = ^ = - sp^ ? ,- •

Следовательно,

vA/+VA/ = 0. (103.5)

Это есть выражение закона о действии и противодействии. Из него следует, что перестановка операторов (103.4) равна нулю. Таким образом, получается

% = - 2 Vfttf* г*» 0. (Ю3.6)

т. е. оператор производной полного импульса по времени равен оператору результирующей силы, действующей со стороны внешних полей на нашу систему.

Эта теорема является полным аналогом классической теоремы о движении центра тяжести системы. Различие заключается лишь в том, что в квантовой механике она формулируется не для самих механических величин, а для изображающих эти величины операторов и, следовательно, для средних значений величин.

Если внешние силы отсутствуют (Uk — C), то из (103.6) следует, что

f = 0, (103.7)

т. е. полный импульс системы частиц, взаимодействующих между собой, в отсутствие внешних сил сохраняется.

Напомним, что операторное равенство (103.7) означает, что: 1) среднее значение полного импульса не меняется с течением времени, 2) вероятности w (Р') того или иного значения Р' также остаются неизменными.

§ 104. Движение центра тяжести системы микрочастиц

Докажем важную для приложений теорему о независимости движения центра тяжести системы от относительных движений частиц, образующих эту систему. Для этого преобразуем гамильтоЛ.

ниан системы частиц Я, подверженных действию лишь внутренних

сил:

А *2 А А

ft = 1 кф} = \

(104.1) (104.2)

к новым координатам: координатам центра тяжести системы X, К, Z и 3N — 3 относительным координатам. Удобно взять так называемые координаты Якоб и, которые определяются следующим образом:

g _ т1х1

Ь1 — *2 — Л*! — X2,

j. __miXi-\-m2x<2

tnlxl-{-...-{-mjXj mi-\-m2-\-...-\-m

— X

(104.3)

m1x1-\-... + mNxN

•N = —_—. — л.

+ +

Совершенно такие же формулы имеют место для осей OY и OZ:

ЩУ\ + '-- + ЩУ]

Щ -|- • • • -f my

(104.3')

Z/'+lt Ј>N = Z.

ffll + ... + /ny ~^

N — 1

Эти формулы представляют собой обобщение обычных формул для координат центра тяжести и относительных координат двух частиц. Координаты Якоби являются ортогональными. С помощью обычных правил перехода от дифференцирования по одним переменным к дифференцированию по другим переменным можно доказать, что *)

где

D

А1

V--1О,

гт2

4 b

АХ2 1 АГА А2

A?J

АГ2

(104.4)

(104.5) (104.6)

§ ЮН

ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МИКРОЧАСТИЦ

447

страница 109
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
кроссовки в самаре
mt-4853
курсы флориста на домодедовской
шашка на учебную машину

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)