химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

ентом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая

Ф(')=-^, (99-Ю)

мы получим из (99.9)

-^^ + и(г)и = (Е0-Щи. (99.11)

Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три:

u" + k2u = 0 (0< г , (99.12)

u"-q2u = 0 (r1u" + k2u = 0 (r2где

p=*(Eo-m ?=*(ут-Е0+Щ. (99.13)

Решения этих уравнений имеют вид

HI = A'e-ikr + Beikr (0 < г < rj, (99.14)

uii = w*r+$er*r (r1um = aeikr + be~ikr (r2 < r). (99.14")

Из условия конечности я|? в нуле следует, что

А' = — В, ui = A sin kr. (99.15)

Кроме того, условие излучения дает 6 = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах г — гх и г = г2, как мы

установили в § 96, сводятся к равенству функций и их первых

производных

A sin krx = ae^i + §е~я\ (99.16)

М cos kr1 = <у (ae^ — р*?-^) для г = гь (99.16')

аеягг -j- р^г, = aeikr\ (99.17)

На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов Л, а, (3, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель А системы уравнений (99.16) и (99.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают

Д (А) = ё» (| tg Аг, - l) |±2 + е»'(| tg Агх + l) = 0, (99.18)

где / означает ширину барьера г2 — г1. (99.18) есть трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая с?/^>1. Тогда в нулевом приближении можно отбросить член с е я\ и мы получаем

tg + 1 = 0. (99.19)

Это —точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, гъ Um)y изображенной на рис. 80 и получаемой из потенциального барьера рис. 80 при г2 — со. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для Е<ит). Если корни уравнения (99.19) обозначить через ?01, &02> •••> k0n, то энергия этих уровней будет (согласно (99.13)) равна

Ш 1

Е0п = ~к1п + ~1ПХ, n=lt 2,3, ... (99.20)

Корни действительны1), если Я = 0, и по порядку величины

равны ~. В этом случае мы имеем стационарные состояния. При

конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что U (г)г^т<Е, и вместо дискретного спектра (99.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к ?0л, но они не будут теперь стационарными (кп Ф 0). При малых Хп они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни, упоминавшиеся в § 67. Определим величину А,л, считая ее малой. Для этого разложим член с cql в (99.18) по степеням Ak = k — k0t где k0 — один из корней уравнения (99.19) для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с e~ql подставим k = k0; замечая, что

получим

2r« ^a^f- + & <1 + д* + • • • = o.

Я\) ~Г «о RWQ

*) Для достаточно глубокой ямы (Um -» со) qm -» со, вместо (99.19) имеем tg&/-1==0, knrx — nnt n=l, 2, 3, ...

Отсюда находим Ak.

При этом малую поправку к действительной части k0 мы также можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же часть будет равна

3 (А - *„) = 3 (Д&) = ,A.--JG^_. (99.21)

Пренебрегая также малой поправкой к действительной части k в (99.13), мы можем положить 2^F° Из (99.13) получаем

Сравнивая это с предыдущим выражением для мы находим

Имея в виду, что ftk0/\i есть скорость частицы v0 внутри барьера и что k0?& l//"i= l/r0(г0 — радиус ямы), мы получаем из (99.23) и (99.13)

X^-L.-F^^'. (99.24)

Эта формула имеет простое наглядное толкование. есть число

ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.

Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны

~~eikr неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера

ik0r ?1 aeikr е 2k0n

Ьп = —г-=а :

Рост вытекает из требования, чтобы имелось только излучение, и

отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность J J2 внутри самого барьера

была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось ЕСЕ время от t — — ОО) и что к моменту начала излучения | ipj |2 было конечно. Поэтому наш

вывод о том, что 1|}И1 -> со при г->ОО, вывод, относящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное решение справедливо лишь

^ 2Л0Л

для небольших г, именно для г . .

AJ.I

Далее отметим, что в связи с формулой (99.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное нами состояние

не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стационарные состояния гармонически зависят от времени).

Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии ? в этом состоянии, нужно разложить яр (г, t) по собственным функциям гря(г) оператора Н. Так как tV(/*)>0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр ОЙС?<-Т-°° (ср. § 49). Если положить

со . Et

яр (г, t)=l C(Ј)e~t-7r%(r)dЈ, (99.26)

о

то w (?) dE = I С (?) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С(?) функцией яр (г, t) (99.25), так как она правильна лишь для не очень больших г. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что яр (г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функция яр (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции яр (г, 0) соответствует тому факту, что при ^ = 0 частица находится во- внутренней области барьера. Определим амплитуду a(t)y с которой представлено состояние гр (г, 0) в состоянии яр (г, t). Имеем

а (0 = J яр* (г, 0) яр (г, 0 dv. (99.27)

Подставляя сюда if (г, t) и яр* (г, 0) из (99.26) и пользуясь ортогональностью функций яр? (г), найдем

со . Et оо . Et

a(t) = \e""T С (?) С* (?) dE = \ е~1 ~^ w (?) dE. (99.28)

6 о

Величина Р (t) = \ a (t) j2 дает, очевидно, закон распада состояния яр (г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии w(E)dE в начальном состоянии1).

Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем яр (г, 0) так, чтобы яр (г, 0) = -фо (г) внутри барьера и яр (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь яр (г, t) из (99.25) в (99.27), мы можем игнорировать возрастание яро (г) вне барьера, так как там я]) (г, 0) = 0. В силу совпадения яр (г, 0) и яр0 (г) внутри барьера и считая, что яр (г, 0) нормировано к 1, получим

• Е4 К

*) Эта теорема принадлежит Ц. С. Крылову и В. А. Фоку (>КЭТФ 17, 93 (1947)).

a(t)=e h 2 . (99.29)

На основании (99.28), теперь нетрудно убедиться, что w(E)dE должно быть равно1)

w (Е) dE = М- dE , (99.30)

т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения энергии. Величину А? = -g- называют шириной квазистационарного уровня ?0. Если через т = \/Х обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии (г, 0) = =

страница 105
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Отличное предложение в КНС Нева: msi ноутбуки цены - офис в Санкт-Петербурге, ул. Рузовская, д.11, КНС Нева.
концерт менсона
радар детекторы mongoose
Подсвечники из Италии

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(23.02.2017)