химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

, кроме области О^х^/, где она имеет постоянное значение, равное Um. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной деформации плавного барьера, изображенного на рис. 76.

Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение Шредингера в виде

(96.3)

§ 961 ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ 417

Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптические обозначения

= %[E-U(x)]=kln*(x), (96.4)

где п (х) — показатель преломления (см. § 36), мы перепишем уравнение (96.3) в виде

4>" + /tf«2(*)4> = 0. (96.5)

Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей пространства:

Ф" + ^* = 0, х<0, U(x) = 0, (96.5')

+ = О, O^x^l, U(x) = Um, (96.5*)

*Ф'Ч-^ = 0, *>/, U(x) = 0. (96.5'")

Решения в этих областях могут быть записаны сразу:

я|) (*) = % (x) = Aeik°x-\-Be-ik**t (96.6)

ф (х) = -ф,, (X) = aA"m* + р<Г'ftoV, (96.6')

я|> (x) = i|>i11 (x) = ae'*o*4- (96.6*)

где Л, В, a, p, a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие решения трех независимых уравнений (96.5), (96.5'), (96.5") и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в силовом поле U (х). Для того чтобы они давали действительно одну функцию ф (*), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.

Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (96.5) около точки х = 0, получим

+д +л

\ y"dx + ki \ n2(x)tydx = 0.

—л —д

Отсюда

ф'(+А) - \|/(— А) = — k\ \ n2(x)q(x)dx. (96.7)

—л

Переходя к пределу А->0, получаем краевое условие1)

l>'(+0) = i|?'(—О)- (96.7')

Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие

ф(+0)=ф(— 0). (96.7")

Точка х — 0 ничем не выделена, поэтому условия (96.7') и (96.7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х=1.

Чтобы решение (96.6) трех уравнений (96.5) можно было рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х — 0 и х — 1 удовлетворяли краевым условиям (96.7') и (96.7"), т. е.

?i(0) = *„(0)i ttf(0) = *ii(0), \

4>II(/) = *NI(/), *II(0 = *III(/). J ( )

Подставляя сюда значение функций из (96.6), получаем

Л +? = а + Р,

ik0 (А-В) = ik0nm (а - Р),

„РЫ + p*-'W = aeikol + te"4 ' (9б,9)

ik0nlH{aeik^nl - J^-W) = ^0(^LV _fc-'V).

Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.

Если мы, например, возьмем Л, В Ф О, Ь = 0, то Aeik°x может рассматриваться как падающая волна, Be~iU*x — как бтраженная, a acik°x — как проходящая. Если бы мы взяли Ъ Ф 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо спраза.

Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда мы должны взять Ь — 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: Л = 1. Уравнения (96.9) принимают тогда вид

1+? = а + Р,

1-В = лда(а-р),

(96.10)

Из этих алгебраических уравнений находим а, р, В и а:

а= _ikn , (96.11)

6= „„ ? Щггп . (96.12)

(Г (,_„„).

Если энергия частицы Е больше высоты барьера (7т, то показатель преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В \2 равна

4 (• - NL)2 sin2 (KNTIJ) 1 1 ~ (1 + ^)4 + (l-^)4-2(l-^)2cos(2VOT0 ' V*>A*>

а интенсивность проходящей волны

* (1+^)4 + (1-^)4-2(1-^)2^s(2Vm0 ' (96Л5')

Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне (/0), отраженной (Jr) и проходящей (Jd). Из (29.6) имеем

^ = -^И|2=-^, Л = --^|В|2, JD = 2B-\AR. (96.16)

Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих

- |s|2 =|Д|' = Я (96.17)

называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих

7f = W = |a|2 = D (96Л8)

называют коэффициентом прозрачности барьера.

Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что

R + D=\ (96.19)

(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства).

По классической механике, если ?>с7т, должно иметь место # = 0, D=l: барьер совершенно прозрачен. Из (96.15) следует, что | В |2 Ф 0, поэтому в квантовой механике R >> 0, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны на границе двух сред.

Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um, то по классической механике имеет место полное отражение D — 0, R=l. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.

Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле при полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отражение, и если эта среда представляет собой очень топкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в случае Е nM = i\nm\ = iY^r^. (96.20)

Внося это выражение для пт в (96.14), вычислим теперь \а\2. Тогда считая eko-n,n'1 J> 1, получаем

е-г*.1%1', (96.21)

Обозначая первый дробный множитель через D0 (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k0, получаем

D^D^-iV2^-^. (96.22)

Таким образом, при Е < Um, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.

Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта х).

Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда

~У2^{ит-Е)1ъ\. (96.23)

Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для Um — Er^ Ю-11 эрг (около десяти электрон-вольт), Ю-27 г (масса электрона) и /я^10~8 см, из (96.22) получим D^r1. Но если мы возьмем, например, 1=1 см, то из той же формулы

получим D^e10. Увеличение массы частицы и превышение Um над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы — квантовая механика переходит в классическую.

Формулу (96.22) для коэффициента прозрачности D, выведенную нами для прямоугольног

страница 102
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
уличные тренажеры в казани купить
дверная петля скрытой установки ceam ce/ci000930 nop модель 930
Купить квартиру на метро Смоленская в жилом комплексе Новопесковский
сервис врв систем

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.11.2017)