химический каталог




Основы квантовой механики

Автор Д.И.Блохинцев

волн. Формула (6.4) может быть получена, если свет рассматривать как газ, состоящий из частиц с энергией, равной е = йсо. Первая картина есть волновая картина света, вторая — корпускулярная картина. Обе картины являются недостаточными: формула Планка не соответствует ни

О

к'

-woo*

2 if 6Рис. 7. Распределение энергии в спектре черного излучения для различных температур.

той, ни другой.

Легко видеть, что волновая картина применима в той области, где кванты света малы, а число их велико; напротив, корпускулярная картина справедлива в той области, где кванты велики, а число их невелико.

Действительно, число квантов в 1 см3 в рэлеевской области (Нщ kT) в интервале частот от o>i до щ -f do) есть

W-ta&^^d*, (6.5)

а в области /гсо2 ^ kT (виновская область) оно равно

Т. 0>-.

Отношение dN2 к с/Л^ равно При Йсо2>?Г щ<1.

§ 7. Волны де Бройля. Групповая скорость

Мы не предполагаем здесь следовать историческому развитию квантовой механики и, в частности, излагать тот, сам по себе не лишенный интереса путь аналогий между механикой и оптикой, который привел де Бройля и позднее Шредингсра к установлению исходных пунктов волновой (или, как теперь чаще называют, квантовой) механики. Если не касаться тех сторон первоначальной теории, которые в настоящее время имеют лишь историческое значение, то основная мысль де Бройля заключается в распространении основных законов квантовой теории света (1.1) и (1.2) на движение частиц.

Именно, со всякой свободно движущейся частицей, имеющей энергию Е и импульс р, де Бройль связывает плоскую волну

-ф (г. /) = Се'<ш'-кг>, (7.1)

где г — радиус-вектор произвольной точки пространства, t — время. Частота этой волны со и ее волновой вектор к связаны с энергией и импульсом частицы темп же уравнениями, которые справедливы и для квантов света, т. е.

? = йю, (7.2)

p = ftk. (7.3)

Это — основные уравнения де Бройля. Мы имеем здесь делос историческим ходом идей, обратным тому, который ведет к квантовой теории света. Для света мы имели первоначально волновую картину

ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

37

и в квантовой теории дополнили ее корпускулярной, вводя представления об импульсе и энергии кванта света. Напротив, для частиц (электронов, атомов и т. п.) мы имеем в качестве исходного пункта классическое представление о движении частиц и по идее де Бройля, переходя к квантовой теории, дополняем эту классическую корпускулярную картину представлениями БОЛНОВОЙ теории, связывая с движением частицы волновой процесс с частотой (о

И ДЛИНОЙ ВОЛНЫ Я = -jp .

Подставляя в (7.1) (о и к из (7.2) и (7.3), мы получим новое выражение для волны (7.1), в котором будет в явной форме установлена связь частоты и длины волны с корпускулярными величинами: энергией частицы Е и ее импульсом р

(7. Г)

Такую волну мы будем называть волной де Бройля. Вопрос о природе этих волн и о толковании значения их амплитуды С мы отложим до следующей главы, так как этот вопрос вовсе не является простым.

На первый взгляд может показаться, что движение волны (7.1) не может, иметь никакой связи с механическими законами движения частиц. Однако это не так. Чтобы усмотреть эту связь, обратимся к рассмотрению основных свойств волны де Бройля. Ради упрощения расчетов выберем направление оси ОХ, совпадающее с направлением распространения волны; тогда вместо (7.1) мы будем иметь

г|)(*, t) = Сепш кх).

(7.4)

Величина а = Ш — kx,

откуда видно, что значение фазы а будет с течением времени перемещаться в пространстве со скоростью и, которую мы получим, дифференцируя предыдущее равенство по /:

Эта скорость называется фазовой. Если эта скорость зависит от k, а следовательно, и от длины волны X (так как А, — 2n/k), то имеет место дисперсия волн. В отличие от электромагнитных волн, для волн де Бройля существует дисперсия в пустом пространстве. Этс обстоятельство вытекает- из уравнений де Бройля (7.2) и (7.3). Действительно, ^лежду энергией Е и импульсом р существует определенная связь.

Именно, согласно теории относительности, при скорости частицы v<^c (с — скорость света), т.е. в области применимости ньютоновской механики, энергия свободно движущейся частицы равна

Е = + Vtrilc* + - + JjL + ... , (7.6)

где m0 — масса покоя частицы1). Подставляя это значение в (7.2) и выражая р2 через &2, получим

т0с2 . tik2 . т,

и, следовательно, и = со/& есть функция &.

Перейдем теперь к установлению связи движения волны с движением частицы. Для этого мы рассмотрим не строго монохроматическую волну (7.4), имеющую вполне определенную частоту и длину волны К — 2n/k, а почти монохроматическую волну, которую мы будем называть группой волн. Под группой волн мы будем понимать суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по длине волны и направлению распространения. Для простоты мы рассмотрим группу из волн (7.4), распространяющихся в направлении ОХ. Согласно данному определению группы волн мы можем написать для колебания ф(х, t) следующее выражение:

г|>(*, 0= \ c(k)eimkx) dk, (7.8)

к0-Мг

и 2я

где я0=у- есть волновое число, около которого лежат волновые

числа волн, образующих группу (tsk предполагается малым).

Разлагая частоту to как функцию k (см. формулу (7.7)) по степеням k — &0, получим

со - (до + (^)0 (k - k0) +..., k = k0+{k- k0).

Взяв k — k0 в качестве новой переменной интегрирования | и считая амплитуду с (k) медленно меняющейся функцией k> найдем, что ty(x, t) может быть представлено в виде

t — x

г|)(лг, t) = c(k0)Јiim°t-k°v J е% Х^ dl

— Д/г

Выполняя простое интегрирование по ?, найдем

l) В нерелятивистской теории энергия всегда определяется вплоть до аддитивной постоянной. Поэтому энергию покоя частицы т0с2, при определении кинетической энергии, обычно опускают.

t) = 2c(k0)—-j-Py —-eiKti* *»X) = C(JC, t)-ei{(*°*"ox). (7.9)

§71

ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

39

Так как под знаком синуса стоит малая величина А/г, то с(х, t) будет медленно меняющейся функцией времени t и координаты х, поэтому с(ху t) можно рассматривать как амплитуду почти монохроматической волны, а (со0/ — k0x) — как ее фазу. Определим координату х, где амплитуда с(х, t) имеет максимум. Эту точку будем называть центром группы волн. Очевидно, искомый максимум будет находиться в точке

Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью V, которую мы найдем, дифференцируя предыдущее равенство по t\ именно,

MS.- (7'10)

Эту скорость мы будем называть групповой скоростью (в отличие от скорости фазы, равной со/&0). Если бы рассматриваемые волны не обладали дисперсией, то мы имели бы V =? и. В случае волн де Бройля из-за дисперсии V и. Вычислим, пользуясь (7.7), групповую скорость V:

у dco _ Ш ~ d'k т0'

Согласно (7.3) flk = р, с другой стороны, р = mQv} где v — скорость частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:

страница 10
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164

Скачать книгу "Основы квантовой механики" (21.05Mb)


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
wizardfrost.ru
кухонный гарнитур бланка производитель
противотуманки hella
билеты на спектакль5 вечеров

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.04.2017)