химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

сли в якобиане (59) поменять местами функции у и и или же переставить местами аргументы х и у, то якобиан изменит знак на противоположный:

Д (и, у) D [У, и) Д (ч, и) _ D (и, У)

D (х, у) Д (х, у) D (у, х) D (у, х)

Кроме того:

D (х, у)

Для системы функций и (х, у) и у (х, у) двух независимых переменных якобиан \"' во многих отношениях играет ту же роль, D (х, у)

как и производная по отношению к функции z (х) одной независимой переменной.

Пусть у есть функция от двух независимых переменных жиг. Рассмотрим две функции:

у—у (х, г) и z=z

Частную производную можно рассматривать как якобиан

D (у. z) т, .

„ , ' . Действительно

D (У, г) D (х. z) '

Д (я, г) "

\ дх Л V dz J,

tay_\ ,ау_\

\dx !г V dz J,

\ дх Л

\ дх ), \ dz 1,

Пусть и и v — две функции независимых переменных х и у, если вместо х и у ввести две новые независимые переменные а и В, связав их с а: и у зависимостями

х = х(а, В); у = у(а, В)

то имеет место следующая, основная в теории функций нескольких независимых переменных, зависимость:

Д (ц. с) __ Д (и, v) D (х, у) D (а. В)

(60)

Д (х, у) D (а, й)

Эта формула является обобщением правила дифференцирования сложной функции в случае одной независимой переменной.

(61) 877

В качестве следствия формулы (60) имеем следующую формулу, важную для дальнейшего:

Д (у, г) / ду\ D (х, г)

О (а. В) V дх )г D (О, В)

Отсюда:

Д (У, г) . О (j. г)

«62)

V /г й (а. В) - В (а, В) Пусть дано уравнение

Р(х, у, г) = 0

Мы можем по нашему усмотрению выбрать любые две переменные (х, у или г) в качестве независимых переменных, а третью рассматривать как их функцию. Вычислим произведение

V. дх )z\ dz )у\ ду )х

Заменяя сомножители, входящие в это произведение, отношениями определителей (62), будем иметь:

Д (у, г) О {х, у) D (г, х)

В (а, В) Д (а, В) Д (а, В)

В (х, z) D (г, у) D (у, х)

Итак

D (а, р) D (о, В) Л (а. В)

(63)

(if),' (ir\' (~ду)х = ~1 В качестве второго следствия рассмотрим зависимость: dU = TdS — pdv

Обозначив через х и у любые две термодинамические переменные, получим отсюда:

\ дх )у \ дх /у Р\ дх )у

Выражая частные производные посредством якобианов, приведем эту зависимость к виду:

DW,V) _т Д(Я,у) Д(е,Ю . D (х, у). D (х, у) р D (х, у)

?pj (v, у)

Соотношение

J {V. у) = TJ (S,! ? а?"

\ dv Is \ as )v

являющееся условием того, что dU ееть полный дифференциал, может быть написано так:

Д (Т, S)

Д(Р, ») D[S о)

D {v, S)

Меняя местами независимые переменные в правой части, найдем:

J{T S) = /(p, v) (64)

378

(65)

D (у, x)

Еще одно соотношение получается из равенства которое с помощью уравнения (62) может быть написало так:

Д (j, у) D (г, х)

ds= ; dx+ n/\' [ dy

Если х, у и г выразить в виде функции двух других термодинамических переменных, то, воспользовавшись зависимостью (60), получим отсюда следующую формулу:

J(x, y)dl+J(v. z)dx+J{z, x)dy=0 (66)

Будем теперь рассматривать х, у ж z как функции двух новых переменных, например, переменных кию, тогда из формулы (66)' найдем следующую зависимость:

Заменяя здесь частные производные на якобианы на основании формулы (61), мы получим:

У (s, y)/(z, w)+J(y, z)J(x, w) + J(z, x)J(y, ш)=0 (67)

(68)

При x = p, y = v, z — T и w=S формула (67) дает важное соотношение

J(p, v)J(T, S) + J(v, T)J(p, S) + J(T, p)J{v, 5)=0

причем в качестве независимых переменных, по которым берутся частные производные во входящих сюда якобианах, могут быть взяты любые термодинамические переменные.

Формула (67) делает возмоя!ным систематическое решение задачи, поставленной в начале этого параграфа.

Примем р и Т за независимые переменные и рассмотрим переменные U и Я как функции от р и Т.

Тогда найдем:

/ dU_\ D (U, Н) D {U, Н) , D (у, Н) \dv )н ~" D(v Н) D (р f| ' «(f Г) =

t аи_\ (2S-\ ЦЕЛ

\ др /Л дт )о \ дР ),\дт )р

= (JL\ (2ЕЛ —(—\ (—\ \аР )Л от )„ \ ар )г\дт )р

(70) 379

Из формулы (58) имеем вн

и из определения Ср и Н в сочетании с первым законом следует:

{тг)гс" (71)

Далее, нв формулы (45) имеем:

Но из равенства dQ = TdS видно, что:

Заменяя в формуле (72) Т (-||г) через Ср, получим:

{w)P=c>~p{w),

Единственной величиной в формуле (69), которая нами еще не определена, является (")г- Для ее определения рассмотрим формулу (45). Из нее следует:

{ат )р

(~FLP~)R = Т (~ар~)т~ р (~др~)т

Последнее соотношение после аамены ("FF")R НА основании формулы (57) принимает вид:

av

(73)

Заменим в формуле (69) частные производные

/ au\ i ан \ i ан \ / дУ \ \ аР )т' \ ат V \др )т' \ат )р

их выражениями на основании формул (70) —(73). Мы найдем:

(74)

После преобразований эта формула принимает следующий вид:

m Aw)P-~p\-m:

(75)

380

Метод, примененный для вывода формулы (75), отличается громоздкостью и требует некоторого опыта в обращении с термодинамическими уравнениями. С целью упрощения вычислений может быть использована таблица, которая содержит значения J (х, у), выраженные через величины р, v, Т и S.

Введем следующие обозначения:

/ (D,

страница 99
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
плитка thai
hi-end аппаратура купить
aqualux сантехника официальный сайт
инструкция по эксплуатации систем вентиляции

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)