химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

дТ dT

Здесь два члена взаимно уничтожаются, и мы приходим к формуле "jf'• "g"f"= Р> которая вообще неверна.

Это объясняется тем, что частные производные ||г, стоящие в левой и правой частях формулы (22), вычислены при разных предположениях. Поэтому в подобного рода примерах не следует опускать у частных производных индексы, указывающие на то, какие переменные принимаются за постоянные.

С другой стороны, если пользоваться только уравнением (20), не прибегая к уравнению (21), то в обозначении частной производ„ dp „

ной можно опустить индекс, так как единственной второй независимой переменной, кроме Т, является у и поэтому переменную v следует считать постоянной при дифференцировании по Т.

d*x du dv

dw "ЬТ

dw . d*w ду ' дх ду

Г +

] +

dx ди

дх 'dv '

d*w dy*

Г ду ft ' L dv ' d,

dy dy ' du' dv

(19)

Воспользуемся еще одним примером, из рассмотрения которого станет понятно, почему в некоторых случаях бывает необходимо в обозначении частных производных указывать те переменные, которые при дифференцировании принимаются за постоянные.

ЗС2

% 3. ПЕРЕХОД ОТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ К ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Формулы дифференцирования сложных функций имеют приложения при преобразованиях различных дифференциальных зависимостей, связанных с преобразованиями координатных систем (см стр. 468).

Рассмотрим переход от прямоугольной к цилиндрической системе координат. Соотношение между этими двумя системами видно из

363

рис. XII-1. Цилиндрическими координатами точки Р являются: х, г и Ф, где г — длина перпендикуляра из точки Р на ОХ, а Ф — угол, образованный этим перпендикуляром и плоскостью XOY. Между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеют место следующие соотношения:

х = х; г = гъшФ )

} (23)

у = гсовФ; r=VY* + z* I

Цилиндрическая координатная система весьма удобна, в частности, при изучении вопросов теплопередачи и массопередачи в цилиндрических телах, оси которых совпадают с ОХ.

(24)

Общее уравнение теплопроводности в неустановившемся состоянии в прямоугольной системе координат х, у, г имеет следующий вид:

df I d*t d*t d*t \

X "5т — °VW+ ду* "г" dz* )

« g*t

dr'dy* + ERA'

(dy

(28)

/0ФУ

\dy )

I дФ \* \ dz )

Подставим найденные частные производные в формулу (18), изменив, соответственно, обозначения переменных:

d*t

dr\*

84 dz*

_dt d*r . 8*t /dr\* d*t dr дФ,М_ д*Ф_.д*/дФ_\* ~ dr' dz*~T~ dr* \dz) + 2 dr »ф'dz' dz dФ ' dz* > дФ* ' я- ' ( '

d*t dr_ j№_,dt_ д*Ф d*t J + 2dr дФ' dy' dy +dФ ' dy* + dФ*

' dr 8Ф dz dz ~ dФ dz* Складывая эти выражения, получим:

i!L-L— Т ГД2Г I Д2Г 1 I 8*' ГСдг V I I °Г VI "

ду* "г dz* дг L dy* + dz* J + dr* \\ dy ) + \ dz J J"1"2

drdФ

["_*_ №_ , dr_ ДФ "I dt Г д*Ф . d*Ф I d*t Г Г дФ У / дФ\*~\ L dy ' dy "г" dz ' dz J + АФ L dy* + dz* ] + dФ* W dy I +\ dz J J

Подставляя в эту формулу вместо производных от г и Ф по у и z их значения из формул (25)—-(27), получим:

Рис. XIII.

Посмотрим, как изменится это уравнение при переходе к цилиндрической системе координат.

Переход этот осуществляется по формулам: у=гсозФ; г=гзтФ

Следовательно, здесь имеет место пятый случай замены переменных, рассмотренный в § 2. Для выражения производных от t по старым переменным у и г через производные от t по новым переменным г и Ф следует воспользоваться формулами (14), (15) и (18), заменяя в них w, х, у, и, v, соответственно, на t, г, Ф, у, z.

(25)

Вычислим сначала частные производные от г и Ф по у и г:

dz YY* + z*

df у dr

— =* , = cos Ф;

*» VY* + z*

sin Ф

дФ дг

Из рис. ХП-1 находим:

откуда Ф = аг(26)

Отсюда имеем:

дФ z

cos Ф

dy V* + z* г • дг y* + z* г

Вычислим теперь частные производные второго порядка: АФ sin2 Ф

cos* Ф

аФ dz

д*г dz* д*Ф

= — ЭТФ —— = (27)

COS Ф —— =

2yz

д*Ф__ д_ / z \

dy* ~ ду \ y* + z* ) " д*Ф _ д Г у \ —2уг dz* dz \y* + z* ) (y*+z*)*

364

d*t d&

dt_,d*t__i_ dt . d*t 1

dy* + dr* "*" r*

(30)

Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат записывается следующим образом:

дх "~" \ dx* r ' dr "T" r* ' №* ~T" dr* )

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ

Если зависимость между независимым переменным х и функцией от него у задана аналитическим выражением, не разрешенным относительно у, т. е. если задано уравнение / (х, у) ?= 0, то говорят, что это уравнение определяет у как неявную функцию от х.

Вышеописанные методы весьма удобно применяются при дифференцировании неявных функций с двумя переменными. Дифференцирование функции / (х, у) = 0 дает:

Отсюда получаем формулу для производной неявной функции:

(3D

EL

dx

dx

Аналогичные соотношения могут быть получены для функции с любым числом переменных. Если мы имеем функцию / (xlt хг, х3,. . ., х„, г) = 0 и если мы примем хх, хг,. . ., х„ за независимые

365

DZ

DXK '

переменные, a z — за их функцию, то частная производная от z по xk выразится следующим образом:

(32)

JL

JL

ДГ сосуда, этот процесс можно считать протекающим при постоянном объеме. После интегри

страница 95
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
http://taxiru.ru/zakon69-2/
шкаф для раздевалок шр 600вс
реле дифференциального давления siemens
прокат аудио аппаратуры москва

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.09.2017)