химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

df dx

du dx du

Вторая производная имеет вид:

"' (dw V- dlw — df d2x I DX JL.(AL\

du \ du )~ du2 dx ' du2 ~T~ du ' du \ ix )

dx

A I dl \_d*f du \dx ) dx* '

df d*x_,fd*_y iff dx ' du* ~1~ \ du ) ' dx*

Первая производная сама по себе —функция х, и при дифференцировании по.и ее надо опять рассматривать как сложную функцию от и. Мы находим:

Отсюда имеем:

d*w du*

(U)

_ dw _a_/j** \ I dx_ a / dw\

~~ dx ' du \~du~J"*" du ' du У dx )

Производную ("j") следует отыскивать как производную от сложной функции; применяя формулу (10), получим:

д I dw\ _ d*w дх ди \ dx ) ~ dx* ' ди

? дх У d*w dx*

После подстановки в уравнение (11) имеем;

ди*

_ dw д*х , f дх У dx ' ди* \ ди )

Таким же путем получаются остальные две частные производные второго порядка:

дх dx d*w ди' dv' dx* ? дх \* d*w dx*

du d*x

Пример.

d*x

d*w dx* '

= 0

dx dv

d*w ди*

d*x ~дЬ~*'

Отсюда вайдеи:

= 4(г + 3)+8и2г—= — Suv

du dv

L=-4 (s+3) + 8

359

Третий случай: w = / (х, у); х — Fx (и); у = Fa (и).

Здесь мы будем иметь только одну производную первого порядка, так как, после исключения х и у, w станет функцией лишь одной переменной и.

dw Ни

dw dx дх du

Пользуясь формулой (5), получим:

dw dy dy du

d*w du*

Применяя формулу (5) к каждому слагаемому правой части, получим вторую частную производную:

_dw_ jftc_ . dx_ J_ (Ј!L\Л. Hzl d*y . dy d / dw\ ~~ dx ' du* "г" du ' du \ dx ) dy ' du* du ' du \ dy J и ЯВЛЯЮТСЯ функциями от ж и у, и формулу (5)

Но

можно применить к каждой из них; мы получим:

dw dx_ dx du

Следовательно, формула (13) принимает следующий вид:

. dw

ди

dw

dw dy dy dv

d*w du*

Таким же образом получим: Далее найдем:

dw d*x dx д ( dw\ dx ' du* ' "DU "du \ dx J

Ho

д ~ди~

d*w dx дх* du

— есть функция от x и у и на основании формулы (5) имеем: dw 1

d / dw\ _ du \ дх )

d*w dw d*x d*w du* "=~dx' du* *~ dx*

Пример,

d*w dw d*x . d*w ! dx \* dv* ~~ dy "dv* + dy* ' \dv )

d*w

d*w _ dw (fix d*w I dx \* du* ~~ dx ' ~DU* dx* ' \ du )

du. d*w dx* dx . d*w du ду dx dy du По аналогии

dy _ d*w dx . d*w du + dy* i dy

du дхду

du и

d*w I ду У dy* \du )

dx dy d*u du dv dx d

dudv

Пример. Требуется упростить уравнение ' дФ \ . , / dФ

I дФ \ . / dФ \

d*w

dw dw dx „ „ dy

dw du

dx dy du du

dw

= 2x-3u* + 2y2u = 6xu* + 4i/u

d*w

d*w

' ' dy* ~2' dx-dy

? i2xu-\-l&ui+iy + 8u*

где а и Ь — постоянные, а Ф—функция от х и у, вводя вместо х и у новые независимые переменные и в. v, связанные с х и у зависимостями:

х=иа. y = vb

Дифференцируя функцию Ф, находим

/Юх /вФч /вФ\ ,аиа-1=(Щ

V. ди /о \ dx jy du \ дх Jy \ дх /у и

откуда

/ аФ \ _ / аФ \

V dx Jy \ du /и

dw dw dx_ dw_ dy_

~du dx "du '~dy""du

Четвертый случай: w = f(x,y), где x = f1(u), y = My)- Ha основании (10) имеем:

(13)

Таким же путем получим:

и, вместо

ди

В этом случае у не зависит от и и, следовательно, |- = 0. Далее, вследствие того что х есть функция только одной переменной

dx dx

360

следует писать

Подставляя это выражение в исходное уравнение, приведем его к виду: / дФ \ , / дФ \

Пятый случай: w = f(x,y); x = F1(u,v); y = F2{u,v).

361

dw 'Ей"

dw "дх

дх . dw ду * ду ' ди

ди

Применяя формулу (1Q), получим две первые частные производные:

Яш йт Яг Ят Яг/

(15)

(14)

dw dw дх , dw

dv "Ex ' dv ' dy

d*x ' du*

d*w

du* "'

Вторые частные производные получаются путем дальнейшего дифференцирования уравнений (14) и (15):

, dx_ J_(dw_\,dw_ ?У_,?У_ ,ш

тт dw H° to И

du ' ди \ dx ) dy ' du* ~ du ' du \ dy ) 1 '

будучи функциями x и у, могут быть продифференцированы с помощью формулы (10); дифференцируя, получим:

(17)d*w dy dx

dx . d*w ~дй' dy*

_д_ / dw_\ d*w dx d*w dy Пй\дх / = dx* ' ди "т" dx ду ' ди д I dw \ _ du \ dy ) "

Возьмем известные из термодинамики однокомпонентных систем уравнения:

P=/iO>, Т) (20)

Т) (21)

где v — объем; р — давление;

Т — абсолютная температура1, S — энтропия.

Подставляя значение у из уравнения (21) в (20), получим р как функцию только S и Т, а именно:

P=/i[/«№ Т), Г] = /,(5, Т)

Будем искать частную производную от р по Т при постоянной S. На основания выведенных формул мы получим:

\dT Is \ dv jT\dTj8~'\dT)a

Если /j заменить зависимой переменной p и опустить индексы, то эта формула примет вид:

dV

D*W DU*

dx du

+

Подстановка (17) в уравнение (16) дает: д*х , d*w I dx

(18)

_ dw d*x d*w f dx \* d*w Ъ1с'1и*'~дх*''\Ей1 +2 dxdy

. dw d*y_ d*w I dy \» "r" dy ' du* "т" dy* \ du )

д*у . dy й / dw \ ди dv dv ди \ ду }

j_ dx д I dw \ | I 1 Hv'Hu \~dx ) Т"

Очевидно, что для -gjg- получим выражение, аналогичное уравнению (18); надо лишь в уравнении (18) и заменить на о. Третья частная производная второго порядка получается в результате применения формулы (10) либо к (14), либо к (15):

о*№ _ dw д*х , dx д / dw\ , dw ди dv дх ди ди

Подставляя сюда выражения для (") и (~г) из придем к окончательной формуле:

(22)

др__др_ dv . dp dT dv '

страница 94
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ремонт холодильника Bosch KAN90VI20
сколько стоит выравнять крыло на тигуан
что значит утративший право пользования жилым помещением
трузи сделать в москве

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)