химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

я дифференцирование;

3) на переменные, которые при дифференцировании считаются постоянными.

354

Частные производные

dx-i

. ,-|- сами являются функциями

переменных хи х2,. . ., хп. Если их продифференцировать вторично

по одной из переменных, то получим частные производные второго

порядка. Если частную производную продифференцировать

Пусть, например Тогда

по переменной хг, то найдем частную производную, которую обозначают следующим образом:

дх\ дх2 w={z* + y*)n

?—-п (x + yV-12x

дх

2L=.n(x* + y*)™2y

Отсюда могут быть найдены четыре частные производные второго порядка:

С *? "\ = iff. = „ (xt + wn-i. 2+» (п -1) (*« + frt""8 • 4*2

д / dw \ дх \ ду ) '

дхду

(1)

?(2)

\ дх } ох*

= 2У (л — 1) {х2 + У2)"'' 2х

Сопоставление уравнений (1) и (2) показывает, что

ду дх

т. е. что частные производные второго порядка не зависят от порядка

дифференцирования. „

Можно доказать, что это утверждение справедливо для любой функции, если только соответствующие частные производные непрерывны.

23» 355

В гл. I мы определили частные дифференциалы для функции, зависящей от двух независимых переменных следующим образом:

If

dXa

то их дифференциалы dxx, dx2, . . ., dxn будут равны:

dxdU

Здесь индекс при частных дифференциалах dj и dxu обозначает переменную, относительно которой производится дифференцирование.

Аналогично определяются частные дифференциалы для функции от п переменных w = / (хх, х2,. . ., ха):

Подставляя (4) в (3), получим:

Ldxi' dt дхг ' dt ' ' ' dxn dt J

dw ,dxn

dw

Если придать переменным х2, ха,. . ., хп постоянные значения и дать переменной хх бесконечно малое приращение Дж,, то приращение hXlw, которое получит при этом функция w, будет отличаться от частного дифференциала dXlw на бесконечно малую величину второго порядка относительно Ахх.

Следует особо подчеркнуть, что если в случае одного независимого переменного символ ~ представляет собою дробь (отношение

дифференциала функции к дифференциалу независимого неремен, ди ди

ного), то символы частных производных — и — уже не являются дробями.

Сумма всех частных дифференциалов функции

w=f(xb х2, . . ., хп)

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается

dw-_2Ldx,+.

dxx 1 ' dx2

dw:2Ldx2+ . . . +-dxn (3)

Полный дифференциал функции отличается от полного приращения этой функции на бесконечно малую величину второго порядка относительно приращений независимых переменных.

В технических задачах часто полное приращение функции заменяется ее полным дифференциалом.

dx„ dt

(5

т ax.

Отсюда пелучим:

dw df dxx . df dx2 .

~Si dx[' dt 9lj ° dt "I '

Так как аргументы xt, ж2,. . ., xn первоначальной функциг являются функциями t, то w представляет собой функцию только одного переменного t, и производная w по t уже не является частног производной. В том случае, когда аргументы хъ х2,. . ., хп функции w сами по себе являются функциями других переменных w носит название сложной функции этих переменных.

(6)

Примем, что в функции w = / (хи х2,. . ., х„) аргументы х, х2,. . ,,хп являются функциями двух переменных t и s:

х2 = Ф2 ((. «)

дх, , дхх -ZT-dt-\—j±- ds dt ' ds

Найдем полные дифференциалы этих функций:ds

(7)

ds

dx, ?•

dx2 = --dt + dx tJ , dxa ,

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Если в функции

переменные хи ж2,. . ., хп являются функциями одной независимой переменной t

*i = h (*)? *а=/а С). • • •. *n=U W

Подстановка (7) в (3) дает:

. / dj дхх , df

+ ' й dx2 ' 6

+ ...+

I 6xn dt J n ds J

(8)

357

356

Ho w представляет собой функцию от t и от s; эта функция моя;ет быть получена путем исключения xlt xit. . ., хп из функции w = = / (хх>. . ., хп) при помощи уравнений (6):

Полный ДИ|)

= /1*1 (*,»). *.(*.«) Ф„ («,*)! =/•(*,»)

(9)

реренциал этой функции будет равен!

dtp dlЈ

«-«7 = =-. dt + - а* а»

Пример.

= 2u

w — x" и x—u*dx du

Tixn-1-2u = 2nu (и* —2)""1 2

a/ a*„

• +

(10)

at

a*.

Сравнивая формулы (8) и (9), мы получим частные производные функции w по ( н j, если приравняем коэффициенты при dt и ds. Для коэффициента при dt найдем:

dw _ df dxx i - й/ tea . й! — dxt dt ' dx% ' dt '

в/

в/

зр-, указывающие

Следует обратить внимание на обозначения в формуле (8). Нет

необходимости ставить индексы при

0X2 '' *' дхп *

на те переменные, которые мы принимаем за постоянные, так как

дифференцирование функции / производится по одному из ее аргументов хх, хг,. . ., хп, а остальные должны быть приняты постоянными. По аналогии с этим также нет надобности писать индексы

дх\ дх„ дх\ дхп „ vv

у "bt'' ' '? "af я "as'' ' -."57 п0 тои причине, что при дифференцирова-. нии по одному из аргументов предполагается, что другой сохраняет постоянное значение.

Формулы (3), (5) и (10) являются основными при дифференцировании сложных функций. Отметим некоторые часто встречающиеся частные случаи этих формул.

Первый случай: » = |(i)m=f (и).

Применение формулы (5) дает первую производную:

dw

страница 93
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
курсы бухгалтеров с нуля подольск
какие анализы сдать на половые инфекции
кресла в кинотеатр цена
Vaillant ecoCOMPACT VSC 266/4-5 200

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)