химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

вектора:

div Л = Ит -V-o

Если вычислить этот предел, то окажется, что дх 1 ду 1 дг

(24)

Дивергенцию можно рассматривать как скалярное произведение вектора А и символического вектора у (набла):

div А~ v ? Л

Действительно, вычисляя это скалярное произведение по формуле (9), получим:*: дАх . дА„ . дА, ,. -*

V А = —i Л 14- —— = div /1

Пусть поле вектора Л есть поле скоростей несжимаемой жидкости, причем в начале координат имеется источник жидкости обильности е; в этом случае дивергенция вектора А, вычисленная для начала координат, будет равна +е.

Если в начале координат имеется не источник, а сток, то дивергенция в этом случае будет равна —е. Вообще дивергенция поля скоростей текущей жидкости в данной точке есть относительное изменение плотности элемента жидкости, отнесенное к единице времени.

Основная теорема, связанная с понятием дивергенции, — теорема Остроградского — заключается в следующем.

Пусть области V пространства задано поле некоторого вектора А. Обозначим через S поверхность, ограничивающую этот объем. Формула Остроградского устанавливает зависимость между тройным интегралом, взятым по объему, и интегралом, взятым по поверхности S:

j J JUIVADV=f j ANDS (25)

v s

Объемный интеграл от дивергенции вектора равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую этот объем.

Рассмотрим в векторном поле какую-либо кривую L. Линейным

(26)

интегралом вектора А вдоль кривой L называется следующий криволинейный интеграл, взятый по кривой L:

j {Axdx-\- Aydy-\- Аго

Если кривая L замкнутая, то линейный интеграл (26) называется

циркуляцией вектора А по кривой L. Понятие линейного интеграла аналогично понятию работы. Если точка перемещается по кривой L

под действием силы А, проекции которой на оси координат равны

348

Ах, Ау, Az, то линейный интеграл (26) представляет собой работу, совершенную этой силой.

Линейный интеграл (26), вообще говоря, зависит не только от конечной и начальной точек интегрирования, но также и от кривой, по которой производится интегрирование. Интегралы (26), взятые по разным кривым, соединяющим данные фиксированные точки, — различны.

(27)

Однако, если подинтегральное выражение в линейном интеграле (26) есть полный дифференциал D

AKdx-\- Ау dy-\- Аг dz = d(p

то интеграл (26) не зависит от вида кривой L, а вависит только от конечной и начальной точек пути интегрирования. В этом случае интеграл (26) равен разности значений функции ф (х, у, z) в конечной п начальной точках:

(Axdx+Aydy+ Azdz)= (х0, у0, z0)

дАх

дАг дх

дА

дх

дАг

ду

= 0;

= 0;

(28)

Условие (27) будет выполнено, если вектор А удовлетворяет следующим условиям:

dz

«АУ

дг

Если проекции вектора Ах, Ау, Аг удовлетворяют условиям (28),

dip

' дУ

Ах=

(29)

то вектор А называется потенциальным. В этом случае эти проекции являются частными производными функции ф по координатам

А -2$-А'~ dz

и, следовательно, вектор А можно рассматривать как градиент скалярного поля, образованного функцией ф (х, у, г):

А = grad ф

Отметим еще, что независимость линейного интеграла (26) от пути интегрирования равносильна равенству нулю интеграла по любой вамкнутой кривой, проведенной в векторном поле. Отсюда следует, что циркуляция потенциального вектора по замкнутому контуру равна нулю.

Допустим, теперь, что вектор А не потенциальный. Тогда левые части в равенствах (28) не равны нулю.

НАу дх

дАу

DZ

дАг дх

0АХ

дг ?

дАг ду

(30) 349

Рассмотрим вектор, проекции которого на оси координат равны:

dA% дУ '

Этот вектор называется вихрем, или ротором, вектора А и обозначается так:

Очевидно, что вихрь потенциального вектора равен нулю:

rotgrad

Если вектор А есть вектор скорости текущей жидкости, то вектор rot А для некоторой точки является удвоенной угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего эту точку, в предположении, что этот объем в данный момент времени затвердел.

Вихрь можно выразить при помощи символического вектора-набла. Применяя формулу (14), легко проверить, что вектор-вихрь можно рассматривать как векторное произведение вектора-набла

на вектор А:

rot3 = vx2 (33)

Основная теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема Стокса.

Пусть S — некоторая поверхность, ограниченная контуром L и целиком расположенная в поле. Теорема Стокса устанавливает связь между циркуляцией вектора по кривой и интегралом, взятым по поверхности S.

Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку

(34)

вектора rot А через поверхность, ограниченную этим контуром:

j (Ах dx + Ау dy + Аг dz) = j j to t„ AdS

§ 8. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

С другой стороны, масса жидкости, содержащейся в объеме V, равна:

V

dV

За единицу времени эта масса изменится на

ар

ш

Следовательно, за единицу времени из объема V вытечет количество жидкости, равное

(36)

Приравнивая правые части формул (35) и (36), получим:

S V

Применяя к интегралу, стояще

страница 91
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
селект бриллиант супер цена
вебасто цена с установкой
цветное стекло посуда купить
asking alexandria концерт в москве 2016

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)