химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

(A, Y) (4)

Лг=| Alcos (A, Z)

Если, наоборот, даны три компонента вектора, то вектор А однозначно определяется как диагональ параллелепипеда, построенного

на векторах iA„ )АУ и кАг. При этом длина вектора А будет равна

CA\ = V А%+А1+А1 (5)

а его направление определяется гремя косинусами, которые могут быть найдены из уравнений (4) и (5).

§ 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение двух векторов А и В есть скалярная величина; ее обозначают А-В:

А-В = \ Л 11 S 1 cos (X, В) (в)

Перечислим основные свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

2. Скалярный множитель можно выносить из-под знака скалярного произведения:

(тА- В) =га (А. В)

3. Скалярное произведение не изменяется от перестановки

местами сомножителей А и В (аакон переместительности):

А ? В = В ? А (7)

341

4. Для скалярного произведения справедлив распределительный

закон:

(А + В)-С=А-С + В -С

(8)

5. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его

длины А-А = \А\г. В частности

(? I = J . J~K . К = 1 * -J = F-K — K.7=0

(9)

Отсюда следует:

А ? fi= (TAX + JAY+KAJ ? (7вх+1Ву + КВГ) = АХВХ + АУВУ + АГВГ

§ 3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Векторным, или внешним, произведением двух векторов А и В -называется новый вектор, направленный перпендикулярно к их плоскости в такую сторону, чтобы при взгляде с конца этого вектора, вращение от первого вектора ко второму на наименьший угол вокруг вновь полученного вектора происходило таким же образом, как и вращение от оси ОХ к оси OF вокруг оси OZ в выбранной системе координат. Так как выбранная нами система координат правая, то вращение это должно совершаться против часовой стрелки (рис. XI-6).

Длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е. произведению длин векторов-сомножителей, умноженному на синус угла между ними. Векторное произведение обозначается так:

АуВС

Перечислим основные свойства векторного произведения.

АХВ =

(10)

1. От перестановки местами сомножителей векторное произведе-шие меняет свое направление на противоположное:ВХА

2. Если векторы А ж В параллельны, то А х В = 0. В частности

AXA = Q (Ц)

3. Скалярный множитель можно выносить из-под знака вектор-шого произведения:

тАхВ = т(АхВ)

342

4. Для векторного произведения имеет место закон распределительности:

(А + В)ХС=:~АХС + ВХС

5. Векторные произведения основных единичных ВЕКТОРОВ ДАЮТСЯ

следующей таблицей:

(12)

IXIK; )ХК = Р, KXL = 1 IXI = IXI = KXK = 0

/Х( = — *Х; = —*Х* = —j

6. Если векторы А и В заданы своими проекциями НА оси координат

~A = iAx + jA!/ + kAz 1 (13

Ъ=Твх+Ьу+кВг )

то векторное произведение Ах В определится следующей формулой

А Х Ъ=Tl Ах+i As + kAz) Х (TBX + ~JB„ + кВг) =

=7 (AyBz - АгВу) +Т( АгВх - АХВ2) +к(АхВу- АуВх) (14)

Это выражение можно представить более компактно в виде определителя третьего порядка:

' i j к

(15),

АХВАх Ay Az ВХ Ви Вг

% 4. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим важнейшие виды произведений трех векторов.

А) ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА И СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ДРУГИХ ВЕКТОРОВ, т. Е. \(В-С). Здесь В-С — скаляр, следовательно

А (В-С) есть вектор, параллельный А. Порядок умножения играет здесь

существенную роль: векторы А (В-С) и (А -Ъ) С вообще не равны между собой.

Б) Скалярно-ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕВИЕ. Рассмотрим произведение А X

X (В X С). Если на векторах А, В иС построить параллелепипед, то произведение А -(В X С) будет представлять собою скаляр, равный объему этого параллелепипеда

?взятому со знаком плюс, если векторы А, В пС образуют правую343•систему осей, и со знаком минус, — если левую (рис. XI-7). Ска-лярно-векторное произведение не меняется при циклической перестановке векторов сомножителей:

А-(ВхС)В-(СхА)=С.(АхВ) (16)

При перестановке местами только двух сомножителей скалярно-векторное произведение меняет свой знак. Например

А- (5хС) = -л- (СХЪ) в) Двойное векторное произведение. Рассмотрим произведение:

П = Ах(ВхС)

Это произведение представляет собой вектор, лежащий в плоскости векторов В и С и перпендикулярный к вектору 4. Его можно представить следующим образом:

S=B(AxC) + C{AxB) (17)

Прп перестановке местами сомножителей двойное векторное произведение меняется.

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ

Рассмотрим переменный вектор А, изменяющийся в зависимости «т времени т. Будем откладывать этот вектор из фиксированной

точки, например, из начала координат (рис. XI-8). Рассмотрим два значения этого вектора, соответствующие двум близким моментам времени г

ит + Дт. Разность векторов А X йА X (т -f- AT) и А (т) будет некото-' Частное представит собою

Рис. XI-8.

опять некоторый вектор, направленный по прямой ВС. Если Дт приближать к

страница 89
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
плазменная панель 60 аренда в москве
Фирма Ренессанс лестницы из дерева винтовые- быстро, качественно, недорого!
кресло ch 687
боксы временного хранения

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)