химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

олучим:

Г (M + I)

L-l _i- =? -

pm Г(т-Ы)

(»>-1)

Решая относительно у«, получим:

= ЬХ%

" (Ир + 6)(р+1) Из таблицы изображений (№ 14) находим значение оригинала функции:

В частности, если m есть целое число, то Г(т + 1) = ш!

(24)

Ltm =

1 _ tm •" 1 1 р">~"тГ

S 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В химической кинетике и во многих других областях техники анализ процессов часто приводит к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для решения такой системы методы операционного исчисления оказываются весьма эффективными.

Применение этих методов к решению системы дифференциальных уравнений ничем принципиально не отличается от рассмотренного выше решения одного уравнения. В каждом дифференциальном уравнении системы от оригиналов переходят к изображениям; при этом система дифференциальных уравнений заменяется системой алгебраических уравнений, которая решается обычным способом; затем от полученных изображений искомых функций снова переходят к оригиналам.

Пример.

при ( = 0

Пусть начальные условия будут: 1 = 0)

z2 = 0j

Положим Lx1 = y1, Ьхг = уъ и в данной системе перейдем от оригиналов к изображениям. Получим:

(Р + 1) (Нр + 6)

(Зр + 2) I/I + PJ/S = 1 РЙ + (4р + 3) г/2 = 0 Решаем одновременно эти два уравнения относительно YIL 4Р + 3

1/1 =

Пример. Решить систему дифференциальных

— = — 2х — 2j/- 4z

AT

%- = -2х + у-2*

DT

= 5z+2tf+7

при начальных условиях:

*(0) = -2. »(0) = 0, i(0) = S

Примем:

?* = Х; Lg = Y\ Lz = Z Составим операторные уравнения:

(Р + 2) X + 2R + 4Z = -2p

2X + (p-l)R + 2Z = 0 -5Х—2Y"+(P-7)Z = 3p

Решая эту систему относительно X, Y, Z. найдем:

У = Х = - 2р 2р I 2р Р —3 р-2 "Т" р —1

р-З р-1

Z=4-+-2Р

р —3 1 Р —2 Р—1

Обращаясь к таблице оригиналов и изображений, получим!

Х = — 2еи— 2ег, + 2е'

Z = 3es'+2ea'—2е'

514

315

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Найдем функцию, дающую распределение температуры в полу-?ограниченном твердом теле (область х Э= 0 на рис. Х-2), которое имело постоянную температуру ta в начальный момент времени; затем температура его поверхности была внезапно понижена до tc. Эта температура на поверхности в дальнейшем поддерживается .неизменной.

(25)

Температура в этом теле зависит от двух аргументов: от временит •а от абсциссы точки х\ поэтому дифференциальное уравнение для доля температур имеет вид:

_?» _ дЩ дт ~" дх*

tpfi 0 = t — tc — избыточная температура Начальное условие:

; оо имеем 0 =

(26)

при т = 0нО; Граничные условия:

имеем ft = tc—tc — 0

при i > 0 и i= при tOhi(27)

"1

? оо имеем

Идея решения этой задачи методом операционного исчисления заключается в следующем.

Г"Л~

Помножим уравнение (25) на e~mdx п проинтегрируем по т в пределах от О до оо. Мы придем к обыкновенному (не в частных производных) дифференциальному уравнению для функции

со

K = pJ

Рис. Х-2.

которая является изображением искомой функции 0.

Интегрируя это обыкновенное уравнение, найдем изображение и искомой функции 0. Затем с помощью таблицы для перехода от изображения и к оригиналу Ь определим искомую функцию &.

Подвергнув указанному преобразованию соотношения (25) и (27), получим:

С дб „ . Г в*»

(28)

При х —> оо имеем:

дхУ

Выполним преобразование отдельных членов в этих формулах:

о »

Интегрируя по частям левую часть формулы (28) и используя условие (26), получим:

со со со

2Si e-J" dt = р&е-Р | +P2J §e~Pdx = pu — p At

о 0 0

(29)

Таким образом, дифференциальное уравнение для функции и имеет следующий вид:

dz* а а

Граничные условия для функции и будут такие!

При х = 0 имеем и = 0

du

При х —j оо имеем > О

Общее решение уравнения (29) будет:

+ At

Кл/"Т -*у~Е

л * а I г* ~ га

Дифференцируя и по х, найдем:

?vt-cvj.-r*

dx г |

Используя граничные условия, получим для Сг и С2 такие значения:

С1 = 0; С, = -Д*

Подставляя эти значения Ct и Сг в общий интеграл, получим изображение и искомой функции Ь:

При х = 0 имеем:

316

Воспользуемся таблицей перехода от изображения к оригиналам (см. Приложение I).

317

Из этой таблицы следует (№ 26), что изображению 1 — е соответствует оригинал:

2 FAdn

о

Отсюда для т) находим следующее выражение:

V?

При помощи интерполирования найдем;

т = 1,27 -Ю5 сек = 35 Ч

VT J

Следовательно

Пример. Начальная температура стенки печи равна 20° С; эта температура для наружной поверхности стенки остается постоянной, в то время как температура внутренней поверхности печи мгновенно повышается до 600° С и после этого остается постоянной.

Определить время, необходимое для получения температуры 200° С для плоскости, расположенной на расстоянии / = 46 см от наружной стенки печи. Коэффициент температуропроводности стенки я = 0,0042 см/сек.

dn

200 — 20 =

Применим формулу (30), положив в ней t — 200, tc — 20, t„ =» 600:

2(600 — 20) УП

§7. ДИФФУЗИЯ, СОПГОВОЖДАЮЩАЯСЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ

При поглощении газа рас

страница 83
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
уреаплазмоз стоимость лечения
изготовление таблички с названием организации м.бабушкинская
клей для ремонта трещин лобового
где купить пленку оракал

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.10.2017)