химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

(0) = —1 Берем изображения от обеих частей уравнения (15):

(Рх

47р2— Зр Р2 + 9

L тг = РгУ-ЗР2 + Р

?(47 cos 3< — sin 30 =

Следовательно, дифференциальное уравнение (15) при начальных условиях (16) заменяется следующим алгебраическим по отношению к неизвестной у:

РАУ + Зру-Юу-Зр2-8р= 47~9ЗР

ял»

(р»+зр-ю)1>= 47р,'"93р + 3р* + 8р

(17)

Решая это алгебраическое уравнение,-получаем:

Зр4 + 8р8 + 74р' + 69р (Р2 + 9)(р + 5)(р-2)

Остается по изображению у найти его оригинал х. Для этого разложим уравнение (17) на сумму простейших дробеД. JaK как для операционного исчисления простейшими являются дроби, отличающиеся от простейших дробей интегрального исчисления наличием множителя рв числителе, то раскладываем с помощью обычных приемов дробь — :

у Зр2+8?г-!-74р+69 :Ар + В С . Д V ~" (Ра + 9) (р + 5) (р-2) Р2 + 9 + р + 5 р-2

где А, В, С, D — подлежащие .определению числа. Умножая на общий знаменатель, получаем:

Зр3 + 8ра + 74р + 69 = (Ар + В)\( р2 + Зр -10) +

+ С (р* + 9) (р-2) + D (Р2 +9) [р+5)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получим систему уравнений

Л + С + ?> = 3

ЗА + В — 2С ~5D =

—10А + ЗВ + 9С + 9D = 74

—10fl-18C + 45D=69

решив которую, находим А — —2, В = 3, С = 2, D — 3 Следовательно:

у _ —2р4-3 . 2 . 3

р n2J_Q ~*~ n-UK I

_Р2 . Зр

I '

= -2Р2 + 9 ' р + 5 1 р-2 Умножив обе части этого равенства на р, имеем:

, 2р . Зр

Р2 + 9 т" р + 5 р—2

Р2+9

Пользуясь таблицей изображении, находим:

х = — 2 cos 3( +sin 31 +2e"s' + Зе''

§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Для нахождения изображения функции / (t) следует вычислить интеграл, стоящий в правой части формулы (5).

Найдем изображение функции, определенной следующим образом:

"""{о «О

Функцию эту в операционном исчислении называют единичной и обозначают символом 1 («). Мы имеем:

ОО ОО

II (*) = р? e-P4t = p{- | -1 (р>0)

о * о

С>0) —Ае-Р' '

Таким образом, изображение единичной функции есть единица. Найдем изображение постоянной величины:

/ (*) = А*=* const

Имеем при />>0:

1Л(<) = р? e-P'A(t)dt = p~AP' |-Л

Пусть

f (.') = *(Р + ">0)

В этом случае

р+а

ОО ОО

Јe-»' = pj е-"'е-°'Л=р | е-(Р+а) t о о

Отметим, что если /(<)=«"', то;

(Р>°)310

зи

Найдем изображение функции tm. Интеграл (5) при / (() = 1т через элементарные функции не выражается. Интеграл этот детально изучен и свойства его хорошо известны. Приведем некоторые из них.

Гамма-функция положительного аргумента п определяется следующим образом:

СО

(18)

Г (В) = | x"-lirx dx о

Очевидно, что

Г (1) = J е-' dx=l

(19)

Интегрированием по частям может быть установлено следующее тождество:

СО СО - СО СО

Г (N + l)= J x"e-"dx = a J хп~ге~х dx+ (—хпе~х) | = В J АЛ-'Г-* dx (20)

0 0 0 0

Сопоставляя уравнения (20) и (18), получим:

Г (П + 1)=ПГ (П) (21)

Формула (21) выражает основное свойство гамма-функции. Из этого свойства вытекает, что, если значения функции Г (га) известны для всех га между любыми следующими одно за другим целыми числами, то значение Г (га) для любого положительного значения п может быть найдено путем последовательного применения (21).

Интеграл (18) не имеет смысла при отрицательных п. Однако формула (21) может быть использована для определения Г (га) для неположительных значений га. Мы можем написать (21) в таком виде:

Отсюда видно, что удобно считать: 0! = Г (1) = 1

Последовательное применение формулы (22) показывает, что гамма-функция становится равной бесконечности, если га есть нуль или отрицательное целое число.

Сделав в основном интеграле (18) подстановку

получим:

СО

Г (В) = 2 J И"-1*"*' * о

При га = >/г имеем: r(±)=2]i* dy

х ' о

В курсах математического анализа доказывается, что интеграл, стоящий в правой части этой формулы, равен \л. Следовательно

Применяя этот результат совместно с (22), получим:

1 '

Г (п).

Г(П + 1)

(22)

Если 0 < п щ 1, то правая часть этого равенства определена посредством формулы (18); следовательно, формула (22) позволяет определить функцию Г (п) для — 1<п0.

Далее, мы можем найти Г (га) для —2 < га —1, так как для этих значений га правая часть (22) определена, и т. д. Таким образом, имеем возможность определить Г (га) для любых вещественных значений га.

Из формулы (19) имеем:

Г(1) = 1

Пользуясь формулой (21), получим

Г(2) = 1-Г(1) = 1 Г (3)=2-Г (2) = 2-1 Г(4)=3-Г(3) = 3-2-1

?(-4)~

_ 3 2

2 / ,/—\ iVn - j (-2 У я) = —j— и Т. д.

На рис. Х-1 представлен график функции Г (га). В конце книги приведена таблица значений функции Г (га).

Возвратимся к нахождению изображения функции / (f) — t". Подставив в интеграл (18) х = pt, получим:

СО

Г (В) = Р" J e-P't"-1 dt

Г (В + 1) = В!

при условии, что га является положительным целым числом. 312

IЈUP J dt

(23) 313

Сравнивая уравнение (19) с основным интегралом преобразования (1), имеем:

Пользуясь таблицей изображений (Ш 25), находим оригинал функции:В/

1 1 3 ~

Г(п)

(*>0)

W

Заменив п— 1 на т, п

страница 82
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
таганрог металлочерепица
купить дом от собственника на новой риге на авито
филипп киркоров я нижний новгород
курсы по продажам мебели

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)