химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

16

30 6

3 49

22

52

4 101

Как видим, разности третьего порядка постоянны и равны 6, а разности четвертого порядка равны нулю. Это свойство имеет место и в общем случае: разности га-го порядка полинома степени п А„Г"4-А„_1Г"-1+ . . . 4- агх 4- а„

постоянны и равны апп\, а разности более высокого порядка'равны нулю. Это замечание позволяет сразу написать решение простейшего разностного уравнения:

ДлУ = « (7)

Таким решением, очевидно, будет служить функция:

H = fnJ- + c1+crn'2+ • • • + en-ix+cn И)

где с — произвольные постоянные.

18* 275

§ 3. ОПЕРАТОР Е*

Действие, которое сопровождается изменением значения функции в соответствии с изменением приращения независимой переменной, обозначим символом Е.

Таким образом

Eya = Vi

Аналогично имеем:

Уп = ЕУп-i = Е (Еуп, ,) = Еа„_г = . . .ЕпУ (9)

Равенство (9) показывает, что Еп применяется п раз для у0 с целью увеличить значение функции соответственно ге-кратному увеличению приращения независимой переменной. Индекс п в Еп может принимать любое положительное или отрицательное значение. Следовательно

*J/(*O) =/(*»-*) (Ю)

где индекс (—1) устанавливает, что функция уменьшается до ближайшего нижнего значения независимой переменной. Оператор Е имеет смысл только в том случае, когда находится перед функцией или переменной. Он рассматривается как алгебраический символ и подчиняется законам алгебры.

Поскольку знаки Е и Д выражают действия с конечными разностями, которые подчиняются одним и тем же правилам алгебры, то следует ожидать, что между ними существует связь. Действительно, можно показать, что

Уп*1 = Еу„ (11)

и

Уп*1 — Уп = &Уп (12)

Подстановка (11) в (12) дает:

(Я-1)й| = Л»п (13)

Последнее равенство может быть записано как тождество между операторами в таком виде:

Я = 1 + Д (14)

Это соотношение весьма важно, так как оно дает возможность упрощать алгебраические выражения при использовании обыкновенных алгебраических действий. Так, например, если х независимая переменная, которая может принимать следующие значения: %а, жо + Ji, ха + 2га, и т. д., то

I (x0 + h)=Ef(x0) (15)

В соответствии с формулой Тейлора имеем:

• См. стр. 287.

276

?/(*,) = /(*о+*) = /(*„)+40/(i0)-|- — D*! (x0)+Ј-D»f (х0) + . .,- (16)

где символ D представляет дифференцирование, г. е. d/dx. Из (16> получаем:

[1 + ,I0+JL!.+JLL+ . . .] /(*„)= Я/(*„) = (! +Л)/(*„) (17)

Выражения в квадратных скобках образуют ряд степенной функции ehr>. Уравнение (17) устанавливает связь между дифференциальным оператором и операторами для конечных разностей, т. е.

Ј=1 + AW'D (18)

Все три символа в равенстве (18) являются операторами и могут быть обработаны как алгебраические величины. Для любого значения показателя степени т мы можем также написать:

Em = {l + A)m = embD (19)

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Если уравнение, свяаывающее у, Ду, А2у, . Апу, содержит эти величины линейно, то оно называется линейным разностным уравнением re-го порядка. Такое уравнение можно привести к виду:

Amyx+n+A„.lV„„_l+ . . ? + Alyxtl + AoVx = (x) Это уравнение имеет много общего с линейными дифференциальными уравнениями.

Если Ф (ж) = 0, то разностное уравнение

A.SW-MN-U7J.N-I-i- ? ? • +Л1У*+1+4И/*=О

называется однородным.

Решения однородного уравнения следует искать в таком виде!

у =6* (при $ф0)

где р _ некоторая постоянная, подлежащая определению. Например, в случае уравнения второго порядка постоянную Р можно найти следующим образом. Пусть дано уравнение:

Ал+г + А + АоУхО (20)

Полагая у — Р*, получим:

В' (Аф* + А1$+А11) = О Отсюда следует, что Р должно быть корнем квадратного уравнения

AtP + Aib + AfQ (21)

Если это квадратное уравнение имеет два действительных различ-Вьгх корня pt и р2, то общее решение уравнения (20) имеет вид:

где сх и с2 —произвольные постоянные.

277

Если Pi = Р2, то общее решение будет

у=(С1 + сгх)$* (22)

Если корни уравнения (21) комплексные и сопряженные

B = r (cos а 4-г sin а) (23)

то решением уравнения (20) будет функция:

у = гх (ИХ cos ая4-с2 sin ал:) (24)

Как и в случае линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного уравнения в конечных разностях есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения. Пусть, например, дано неоднородное уравнение:

Ум—5y«i +6 = 3*г

Общее решение соответствующего однородного уравнения будет:

ус = с12х + с

Частное решение неоднородного уравнения будем находить методом неопределенных коэффициентов; для этого примем:

Ур = Ь1х* + Ъ2х-1гЬз

При подстановке в разностное уравнение найдем:

h (х + 2)2 + Ь2 (Х 4- 2) + h — 5&i (х +1 )2—562 (Х +1) - 5&з + 6М2 4+ вЪ,х+ф3 = Зх2

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях XI

bj-56i=6bi=3

4*i + Ь2 — 5i>2 — 10*i + MA = 0

4bi + 2i>2 + f>3 — bh — 5Ь3— 5Ь2 4- №a = 0

H 3

i, 15

Решая эту систему уравнений, найдем:

Ь =i

2 2 :

Следовательно, общее решение предложенного

страница 73
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
сколько стоит техобслуживание чиллеров
можно ли ставить рекламу у дороги
emile henry официальный сайт
Продажа элитных домов и коттеджей на Рублево-Успенском шоссе с отделкой

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(24.01.2017)