химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

дка можно найти решение системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Такие системы имеют вид:

, -\-AINXN=L

«П*д + «12*а4- . . . +а1пх„=Ьх

"il*l 4-11(2*2 4- ,

4-а,„а:„ = (>/

ОП\Х\ 4- ANIX2 4- ... 4- А„ПХП = 6„ Более сокращенно эту систему можно записать так:

ANXI + ААх2 4- (где I = 1, 2, . . ., в), или еще короче:

П

2а'Л'=6'; с=1.2 п)

j-i

Если определитель этой системы ===0, то неизвестные находятся по формуле:

«11 • • а1/-1*1а1/+1 • ? . Чп

%1 • . • anl-iKanhi

«Ц • ? • aln

ат • > • апп

где T = I, 2, . .., га.

Знаменателями этих дробей является определитель системы, а числителем — определители, получаемые иэ определителя системы ааменой j-ro столбца столбцом Свободных членов. Пример. Решить систему

—xi4-3r2— хз~?Н-т~ аъ= 3

4-Зэ —55 = —2

х1 4-3*3 + *б= 5

Ч —"4+ *»= 1

2is 4-3*4- я5= 4

261

Решение:

II обычно нааывают матрицей преобразования. Каждому линейному преобразованию можно поставить в соответствие определенную матрицу. Каждой матрице соответствует вполне определенное линейное преобразование. Таким образом, изучение линейных преобразований сводится к изучению матриц.

§ 5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Для прилояения математики к экономике важным является понятие обратной матрицы.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная и все элементы диагонали равны единице. Единичную матрицу условимся обозначать через Е.

Если аЪ = 1, то а по отношению к Ь будет обратным числом и, конечно, если а обратно к Ь, го Ь обратно к а.

Найти матрицу, обратную матрице А, означает найти такую матрицу В, чтобы АВ равнялось Е, т. е. единичной матрице, или найти такую матрицу ВХ, чтобы ВХА равнялось Е. 264

Следовательно, Сц равно пулю, если !==<==/, и равно \А [, если I = /; тогда

С=А-Ат

\\А\ 0 ... О О 1 J4 | . . . О

о о ... М|

265

Как видим, обратная матрица может быть получена из присоединенной, если все элементы присоединенной матрицы разделить на определитель матрицы At

Ап An Anl

\Al ML ' "ML

Аы Ara

ML ML "ML

Умножая матрицу А на обратную матрицу Л„р и, наоборот, матрицу Ащ на матрицу А, легко убедиться, что в том и другом случае в произведении получится единичная матрица, а это значит, что матрица Ар будет по отношению к матрице А обратной как справа, так и слева.

Решение матричных уравнений с использованием свойств обратных матриц можно проследить на примере. Дано матричное уравне-низ:

| 1 2 | 13 5 II

В 3 4 I 1 5 9 I, где я—матрица

1 2

3 4

Имеем:6=— 2

Следовательно, матрица невырожденная:

3 5 5 9

—2 1 2 2

Перемножив матрицы, получим:

<га1 = |-.3—I"-5 = 2; а.

«п = -2-3+1-5 = -1; «1Г = — 2-5 + 1 -9 = —1

2 " 2 "~*" 2 '5 2 '9~3

Таким образом, искомая матрица

*~\ 2 3 |

Далее посмотрим, какому же линейному преобразованию ветствует обратная матрица. Если мы имеем матрицу

«11«12 ? ? ? ч«

«Я1«Я2 • • ? 6

составленную на основе системы уравнений

2L = «lli'l + AI2Y2+- ? - + 4nYn

*2=«211 + «22У2 + - • - + alnYn

t 2 I 8 4

II 2 I I 3 4 I

3 5 6 911 2

1 2 I

3 4

I 3 4 1

'ill 3 5 I 5 9

10 1

LOLL

2 р| 3 5 I 4 I || 5 9 I 1 2 I

3 4|

Обозначим матрицу | 3 через А и найдем ее присоединенную матрицу, для чего определим алгебраические дополнения:

4,i = (-l)i4-4 = 4; 4ls = (-l)i«-3 = -3; 4п=>(-1)«*1. 2 = -2;

ЛЗ=(-1)2+г-1 = 1Таким обрааом, присоединенная матрица Апо будет равна

II 4 -21 —3 1 ' 3 °Ратная матрица

4 —2 2 —2 —2 13 1 = 3 —1

2 2

—2 —2

*n = «ln'r"l + «M!l'2+- • - + "ппУп

И если мы нашли обратную матрицу

А-* —

1112 . . . din

«*2122 - • ' «Л!Г

dnldnu • ? • dm

соответствующую системе уравнений

i = 4IZI+dla22 + . . . + iin2„

Y2 = 121 + 222 + . . . + dnZn

Yn = dniZi + dniZ% +. в при этом нам уже известно, что

1 0 0 1

?=Л-Л=

266

следовательно

ц = 1 -Zi + 0-Za+. . . + 0-Z„ = Zi *8 = 0-Zi + l -Z2+. . . + 0-Z„ = Za

Тогда схему баланса можно представить в виде следующей системы уравнений:

Х1—ХЦ—ХП — . . .— XLN—YX

Х%— ж21 — Х23— ? ? ?—?r2n=Y2

IB = 0-ZI + 0-ZJ+.. . + 1-Z„ = Z„ Из этого следует, что

YI = DNXL + d12z2+.. . + V, У8 = rfai*! + da3a:2 + . . . -f D2NXN

Y„ = d„i*i + DN2X2 -I + D„„X„

Таким образом, если прямая матрица давала нам систему коэффициентов, при помощи которых переменные xlt х2, . . ., х„ определялись черев переменные Yu Y2, . . ., Yn, то обратная матрица дает нам систему коэффициентов, при помощи которых переменные Y х, F2, . . ., Y„ определяются через переменные хх, х2, . . ., х„.

§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ ПЛАНИРОВАНИИ

Рассматриваемый здесь метод решения уравнения материального баланса принято называть шахматной схемой, так как задача ставится и может быть решена только при полной взаимозависимости составляющих.

Если обозначить через: X х, X it . . ., Хп — валовые выпуски 1, 2, . . ., п отрасли промышленности;

жи, ж12, . . ., х1п— количество продукта 1-й отрасли, которое расходуется в качестве сырья как для изготовле

страница 70
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
свадебные букеты недорого 2000 руб
Рекомендуем компанию Ренесанс - чердачные лестницы интернет магазин - продажа, доставка, монтаж.
кресло руководителя t 9950
круглосуточное хранение вещей

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)