химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

ачениями h в качестве абсцисс. Площадь между кривой и отрезком на оси абсцисс, обозначающим пределы h, равна кОгх. Значение fc/J2, т. е. углового коэффициента прямой (рис. V-8),

построенной в координатах \ т, равно 0,058.

5000

Рис. V-7.

где 7с и г являются переменными величинами и могут быть выражены как функции от А.

На диаграмме (рис. V-9) представлена искомая кривая скорости осаждения, полученная по расчету; кружки около кривой соответствуют экспериментальным данным.

§ 16. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В -большинстве случаев решение дифференциальных уравнений не приводится к нахождению интегралов; как говорят, не сводится к квадратурам; для решения таких уравнений приходится применять приближенные методы. Рассмотрим, например, метод последовательных приближений в применении к дифференциальным уравнениям первого и второго порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

(88)

100 90 80 70 60 55 45 40

220

Отношение T : Ж. кг/ кг

0,391 0,434 0,488 0,558 0,652 0,711 0,868 0,978

1,222 1,247 1,278 1,318 1,370 1,403 1,496 1,555

2 г

V-lc Площадь под

КРИВОЙ Вычисленное

время осаждения, сек

2,20 1,67

2,52 1,95 18,4 317

3,00 2,37 40,8 703

3,73 3,05 57,2 1160

5,10 4,36 105,0 1810

6,70 . 5,45 127,0 2130

10,40 9,95 213,0 3670

14 90 15,12 265.0 4570

при начальных условиях: у = у„ при х = х„. Правую часть / (х, у) уравнения будем считать непрерывной функцией от х и у в некоторой окрестности точки х„, у0.

Будем находить решение этого уравнения при помощи процесса последовательных приближений. В качестве первого приближения примем у = у0; подставим в правую часть уравнения (88) у = у0 и найдем интеграл:

*

»l=»o+ J /(*> Vo)dx

X ,

Эту функцию примем за второе приближение к искомому решению. Подставив в правую часть уравнения функцию ух вместо у, найдем второе приближение:

X

Поступая дальше таким же образом, найдем у3, у3, ? . ., у„-В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что последовательность функций yv уг, . . ., уп при п, стремящемся к бесконечности, стремится к функции у (х), которая будет решением уравнения (88), удовлетворяющим условию у — у0 при х = ж0.

221

Пример. Рассмотрим линейное уравнение:

у' = у—х (89)

К уравнениям этого типа приводят задачи о последовательных процессах (гл. III, § 8).

Его решение, удовлетворяющее условию у —0 при х = 0, может быть найдено методом, изложенным в § 6 этой главы. Этим решением служит функция:

, х* Z3 х*

У +Х ~~ 2! 3! IP"'

Решим это уравнение также методом последовательных приближений. Примем з/0 = 0 и подставим эту функцию в правую часть уравнения. Мы оолучим

dy

dx

откуда найдем первое приближение:

й =

2

2 х»

Для нахождения второго приближения подставим эту функпию в правую часть данного уравнения:

dy dx

Интегрируя, найдем:

У2= —

Продолжая таким же образом дальше, мы получим последовательность функций, вмеющих своим пределом функцию 1 + а;—ех.

Если вычисление интегралов, встречающихся при нахождении последовательных приближений, оказывается затруднительным, то эти интегралы находят приближенно, пользуясь формулой Симпсона (см. гл. II)

•r„+2fc

j /(я) Az=y г/(*0)+4/(г(, + А)+/(го + 2ВД (go)2А)]

(91)

или формулой:

/ (*) dx = Та l5f (х,,) + 8/ (г» + h) - ! {х«

Первая из них позволяет найти значение нового приближения при х = х„ +' 2ft, а вторая — при х = ж0 + ft, если известны значения подынтегральной функции в точках х = х0, х„ + ft, х0 + + 2ft.

Пример, Применим этот метод к уравнению (89), приняв *0 = 0, Уо~0, А = 0,25. Веяв за нулевое приближение t/ = 0, находим:

X

Ух = — Jz dx

222

Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), находим значения функции У1 в точках 1 = 0,25 и г = 0,50:

Ух (0,25) = [5,0+ 8 (-0,25) - (-0,50)1 = -0,031 VI (0,50) = - [0 + 4(-0,25) + (-0,50)1 = -0,125

Таким образом функция, являющаяся первым приближением к искомому решению, принимает в точках * = 0; г = 0,25; г = 0,50, соответственно, значения: 0; —0,031; —0,125.

Второе приближение определяется интегралом:

X

Уг=*\(У1—*) Л* о

Применяя к этому интегралу формулы (90) и (91), получим: VI (0.5) = ~ [0 + 4 (-0.281) + (-0.625) 1 = -0,146

П (0,25) - Щ- [5.0 + 8 (-0,281) - (-0,625)1 = -0,034

Аналогично можно найти третье приближение: 0.25

УГ (0.5)=

0,25 : 12 [0 + 4 (-0,284) + (-0,646)1 = -0.1485 [0 + 8 (-0,284)-(-0,646)1 = -0.0239

V,(0,25) =

Этот реаультат можно считать удовлетворительным, тан как, вычисляя значения функции 1+ж—** в точках я=0,5 и х-=0,25, получим довольно хорошее совпадение:

V (0,5) — 1 + 0,50—е"'60 = 1.50—1,6487 = —0,1487

V (0.25)=-=1+0,25—е»'м-1,25 —1,2840 = —0,0340

Для нахождения значений искомой функции я точках х = 0,75 и = 1 следует поступать так же, только в качестве начальных условий следует принять у = —0,1487 при я = 0,5.

Таким образом, можно найти приближенные значения искомого интеграла для ряда равноотстоящих значений х.

dx*

Метод последовательных приближений может быть при

страница 60
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
смарт баланс умка
Удобно приобрести в КНС Нева смартфон Huawei купить - поставка техники в СПБ и города северо-запада России.
обучающий курс по холодильное оборудование
анакондаз купить билеты

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.03.2017)