химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

Таким образом

_ dF 1 е~ dt ' F

Площадь прямоугольника F со сторонами х и у равна:

F=xy

Тогда:

6F . dF dF = -a*-dx+-ay-iv Деля обе части равенства на dt и замечая, что

8F dF

dx dt

дх

+ х±-' dt

получаем!

dF dt

п. dx

Так как и dt

Положим x = y = i; в таком случае последняя

нам искомый коэффициент расширения площади F:

dF dx . dy

8= dt = ~5Г+"с7Г

dy „ Y „jj не что иное, как коэффициенты линейного

расширения по двум главным направлениям, то, следовательно, коэффициент плоскостного расширения равен сумме коэффициентов линейных расширений по главным направлениям.

Производные от х а у по t найдутся из выражения тех зависимостей, которые определяют расширение по обоим направлениям, например, в первом приближении: x = i~\-at

Следовательно

dx dy .

dt

и для коэффициента плоскостного расширения получим:

dF

? = "+F

Аналогично этому можно вывести коэффициент объемного расширения прямоугольного параллелепипеда, неодинаково расширяющегося по трем осям, как это имеет место, например, в кристалле ромбической системы, ребра которого направлены по трем главным кристаллографическим осям. Если ребра соответственно равны х, у и г, то объем

V = x-y-z

20

dx ,

в для коэффициента объемного расширения в случае ж = у = z = 1 мы, как и выше, получим

dy . dz ~dt +"5Г

т. е. коэффициент объемного расширения для куба равен сумме-коэффициентов линейных расширений.

Последняя формула остается в силе при всякого рода зависимостях х, у и г от I. В наиболее простом случае, когда x=l + at, у=1 + р<, z = l+yt

мы найдем:

e=a+P+V

Для изотропного тела а = р=\>, и мы получаем известную формулу iv

т. е. коэффициент объемного расширения равен утроенному коэффициенту линейного расширения.

§ 8. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ

Говорят, что функция у = f(x) достигает максимума в точке х — ж0, если ее значение /(ж„) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках, т. е. если Ду < Q для всяких Дх. положительных и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине.

Аналогично говорят, что / (ж) достигает минимума в точке х = ж0, если /(х0) < < / (ж) для всех ж, достаточно близких к ж0.

Рпс. 1-6.

Кривая ABCDE (рис. 1-6) представляет функцию у = = f(x). Значения у вблизи

точек А а С меньше значений !/ в точках Л и С, и функция в этих-точках имеет максимум.

Точпо так же, вследствие того, что значения у вблизи точек В и D больше значений у в этих точках, функция в этой точке имеет минимум. Обращаем внимание на то, что термины «максимум» и «минимум» не обязательно выражают наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция.

Геометрически из графика видно, что если в точке максимума или минимума существует определенная касательная, то тангенс угла наклона кривой в этой точке равен нулю или бесконечности, и так как этот наклон определяется производной /'(ж), то для нахождения точек максимума и минимума надо решить уравнение f{x) = О, а также найти те значениях, при которых /'(ж) обращается в бесконечность.

Однако, определив эти значения х, мы найдем не только точки максимума и минимума, но вообще все точки, в которых касательная параллельна оси ОХ или оси OY. Но к этим точкам принадлежит также такая точка, как Е, в когорой функция не имеет ни максимума, ни минимума (называемая точкой перегиба). Так как в приложениях, главным образом, цриходится встречаться с такими максимумами и минимумами, в которых /'(х) = 0, то точки, в которых /'(г) = оо, мы рассматривать не будем.

Итак, решая уравнение f'(x) — 0 относительно х, мы получим точки, в которых можем предполагать наличие максимума или минимума.

Для исследования вопроса о том, имеется ли в полученной точке максимум или минимум или же нет ни того, ни другого, можно применять разные приемы. Простейший из них основан на геометрическом смысле знака первой производной. Мы видели, что если в какой-либо точке первая производная положительна, то функция в этой точке возрастает, а если отрицательна, то функция убывает. Пусть в точке, в которой первая производная равна нулю, вторая производная оказывается положительной. Тогда первая производная а этой точке будет возрастающей, а так как она равна нулю в этой точке, то, следовательно, она переходит от отрицательных значений к положительным. Но если первая производная обращается в нуль в некоторой точке, переходя при этом от отрицательных значений к положительным, то сама функция из убвгвающей становится возрастающей и, следовательно, в этой точке функция имеет минимум.

Аналогично можно доказать, что если в точке, в которой первая производная равна нулю, вторая производная оказывается отрицательной, то в этой точке функция имеет максимум.

Однако, пользуясь этим методом, мы не можем установить наличие или отсутствие максимума или минимума в точках, в которых •одновременно f'(x) — О и f"(x) = 0.

Итак, если в некоторой точке

»'=0; у">0

то в этой точке функция имеет минимум, а если в какой-либо точке

/=0; у"<0 -го в этой точке функция имеет максимум.

§ 9. НАХО

страница 6
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
продажа проф настилнижний новгород
выскабливание стоимость
обучение манекюрного мастерства в городе королеве
курсы специалистов по вэд

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)