химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

>р dp djf

Интегрирование дает:

ylnd + PLNY-FILNC!

Определим отсюда р:

Второе интегрирование приводит к общему интегралу!

±'-l7fe+c'h(»vT+rarrr)+c'

I 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение следующего вида:

+ P*)lfc + P*)V~QW (58)

Если Q (х) =56 0, то уравнение называется неоднородным, если О (х) = 0, то уравнение называется однородным.

?06

Теория линейных дифференциальных уравнений отличается большей простотой, чем теория нелинейных уравнений, вследствие чего эта теория разработана лучше, чем теория нелинейных уравнений. С точки зрения приложений линейные уравнения представляют собой наиболее важный тип дифференциальных уравнений; большинство технических вопросов, решаемых в первом приближении, приводят к линейным уравнениям.

Перечислим основные свойства линейных уравнений.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

?3+IMI>-DF+J,AW"=0 (59>

1. Если yt (х) и уа (х) — два каких-либо частных интеграла однородного уравнения (59), то функция:

*=CIFTW+,(I) (60)

где я С, — произвольные постоянные, также есть интеграл этого уравнения.

2. Если ух (х) и уг (х) — линейно независимые интегралы, т. е.

если liM- const, то функция (60) есть общий интеграл уравнеУ\ \х) ния (59).

Таким образом, для того чтобы найти общее решение уравнения (59), достаточно найти два его линейно независимых частных решения.

Пример. y*-\-y=Q. Частные интегралы атого уравнения легко найти: gcosx; 02 = sin*; эти интегралы линейно независимы. Следовательно, общий интеграл данного уравнения будет:

у = Ci cos х -{- С2 sin х

Структура общего интеграла неоднородного уравнения определяется следующей теоремой:

Общий интеграл неоднородного уравнения равен сумме общего интеграла однородного уравнения и какого-либо частного интеграла неоднородного уравнения.

Если у и z обозначают общий интеграл однородного уравнения без правой части и частный интеграл неоднородного уравнения, то общий интеграл Y неоднородного уравнения будет:

T=y + z

Таким образом, решение неоднородного уравнения сводится к следующим двум задачам:

1) к нахождению общего интеграла соответствующего однородного уравнения, для чего нужно найти два линейно независимых

интеграла;

2) к нахождению частного интеграла неоднородного уравнения.

Первую из этих задач в общем виде, т. е. для уравнения (59),

с коэффициентами, зависящими от х, разрешить нельзя. Мы не умеем,

207 как правило, находить интеграл однородного уравнения для случая, когда его коэффициенты — произвольные функции от х.

Поэтому рассмотрим частный случай, для которого отыскание частных интегралов не представляет затруднений. Это —? тот случай, когда коэффициенты уравнения (59) не зависят от х и являются постоянными числами. К уравнениям с постоянными коэффициентами приводят важнейшие задачи техники.

(61)

§ 9. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим сначала однородное уравнениеas = 0

В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что для нахождения частных интегралов уравнения (61) надо составить гак называемое характеристическое уравнение

и найти его корни.

а) Пусть его корни кх и к2 вещественны и различны. Тогда частные интегралы уравнения (61) будут

В этом случае уравнение (61) имеет линейно независимые частные интегралы:

(,! = «*?* и уг=хек'х

Общий интеграл уравнения (61) в этом случае будет!

y = (Ci + Cix)ek"1 (65)

Примеры,

а)

Характеристическое уравнение fca4-l=0 имеет корни ki = i; к2 1.

Общий интеграл на основании формулы (62) будет:

y = Ci cos х4-Са sin i

Характеристическое уравнение к* — Ък4-2 = 0 имеет корни *i = 2; tj = l. Общий интеграл иа основании формулы (25) будет|

1 = 0 + 0

й*у dx* '

и так как —С, то эти интегралы линейно независимы. Общий интеграл уравнения (61) будет:

(62)

б) Пусть корни характеристического уравнения — комплексные сопряженные числа:

so + Bi; k2 = a — Bi

Формула (62) в этом случае применима, но она неудобна для решения технических задач, так как содержит комплексные числа. Оказывается, что от них можно освободиться. Общий интеграл уравнения (61) для случая комплексных корней характеристического уравнения пишется так:

(68)

J, e<»* (d COS °й+ Сa Sin р\г)

у = Ае** sin (Bi + Ф) (64)

В последней формуле произвольными постоянными являются А и ф.

в) Пусть характеристическое уравнение имеет равные корни fci = Лагов

Характеристическое уравнение А:2 — 6*4-9 = 0 имеет кратные корни кг = = 2 = 3. Общий интеграл на основании формулы (65) будет:

Jf = (Ci + tV)*«*

Перейдем теперь к методам нахождения частного интеграла неоднородного уравнения.

В курсах дифференциальных уравнений доказывается, что если известен общий интеграл однородного уравнения, то, применяя метод вариации произвольных постоянных, можно найти частный, а следовательно, и общий интеграл неоднородного уравнения. Этот метод применим к любому линейному уравнению, независимо от того, какой вид имеет правая часть уравнения.

Д

страница 56
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
бухгалтерский учет для руководителей
sira биметаллические радиаторы
XF-FL-B-50W-6500K
купить билеты 23 октября мастер и маргарита

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(05.12.2016)