химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

, что полным дифференциалом функции F (х, у) называется выражение--di-f--dji =d/7- Пусть нам надо- проинтегрировать дифференциальное уравнение

М (х, y)dx + N (х, y)dy = 0

про левую часть которого известно, что она является полным дифференциалом некоторой функции F (х, у). Тогда

и, очевидно, должно выполняться соотношение: дМ dN ду ~ дх

В этом случае наше уравнение можно записать так

dF(x, у)=0

а общий интеграл его будет:

F(x,y)=C

Значит, для того чтобы получить общий интеграл уравнения, левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции F {х, у), надо отыскать эту функцию и приравнять ее произвольному постоянному.

Покажем на примере, как это делается. Левая часть уравнения (6y8i + 2y3)X xdx + (Qx*y + д AT Я F Я}7

= 12ху + ву* и -l— = 12iK-(-6y8. Значит, -—.ЪуЧ + ly* и -*- = в*2р +

дх дх оу

+ йУгх+2уИнтегрируя первое из этих соотношений по х, считая у постоянной, получим F (х, у) = 3y'x2 + 2y'x+if (у), причем о> (у) здесь играет роль постоянной интегрирования, так как, интегрируя по х, мы считали у постоянной. Диф-0F

ференцируя по у, найдем -j— = &хгу -\-6угх + ч' (У)- Приравнивая его значение ду

dF

для выражению Ъх*у+вугх-\-2у, получим <р' (у)2у, откуда Значит, функция F (х, у), полный дифференциал которой равен левой части уравнения, будет равна F (х, у) = Зх*у* + 2у3х-\-у* + С. Общий интеграл предложенного уравнения получим, приравнивая эту функцию произвольному постоянному Зх*у* + 2у3х+уг = С.

Наиболее употребительный способ рещения этого уравнения называется методом вариации произвольного постоянного. Он заключается в следующем. Решаем сначала уравнение:

у'+Р(х)у = 0 (51)

Его общий интеграл будет:

(52,

где С — постоянное.

(53)

Будем считать С функцией от и постараемся подобрать ее так, чтобы уравнение (52) удовлетворяло (50). Для этого дифференцируем первое иэ них no хCPI

и подставляем уравнения (52) и (53) в (50). Получаем следующее уравнение для определения С:

CV-J"' = 0, или cW* Отсюда находим функцию С:

, \Pi* ?

dx + A

где А — произвольная постоянная.

Подставляя это значение С в уравнение (52), получим общее решение предложенного уравнения (50) в виде:

у = еР"[А+10У"ХАХ)

В качестве примера решим уравнение (90) гл. III:

(54)

Общий интеграл уравнения + кгу = 0 есть

(55)

Считая С функцией от т, подберем ее так, чтобы уравнение (55) удовлетворяло (54). Мы имеем:

§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Линейным называется дифференциальное уравнение, в которое у и у' входят линейно (т. е. в первой степени и не умножаясь друг на друга). Общий вид такого уравнения:

y'+Py=Q (50)

где Р и Q — функции от х. 202

dz

dt

Подставляя у и в уравнение (54), найдем

dC dt

203

откуда интегрированием получаем!

Л2 —«1

где А — произвольная постоянная.

*1 —*!

Подставляя это значение С в уравнение (55), получим общий интеграл исходного уравнения:

V = go+

Для уравнения (90) в гл. III мы имели следующие начальные

условия: при т = 0 должно быть у = 0. Отсюда следует, что

л ?о1

А = . _ и искомое частное решение задачи есть

к1 — к1 кх—кг

В качестве второго примера решим уравнение (104) иа гл. Ш:

dx ах а

Общий интеграл уравнения d~ ai" = есть

у = Сх~°

Считая С функцией от х, ищем производную!

а а-"

%.=x-"L + ?Lcx—

dx dx ' а

Подставим у и -jj- в исходное уравнение:

dC __1_ "V

dx a

% 7. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Нередко встречаются такие уравнения второго порядка, которые не содержат у или х или и у и х. Надлежащими подстановками можно такие уравнения свести к уравнениям первого порядка.

а) Первый случай. Уравнение не содержит у. Если при этом уравнение не содержит также и Jj, то оно может быть написано в таком виде

и решение его находится посредством двукратного интегрирования правой части.

Если — входит в уравнение, то последнее имеет вид:

Ж-® »

Подстановка ?? = Р приводит уравнение (56) к уравнений первого порядка:

Допустим, что общий интеграл этого уравнения есть P=q>(*, С)

Тогда общий интеграл уравнения (56) будет!

у — |ф (х, С) Ar + Ci Нример. Решим уравнение

аТу . xdy dx* ' dx

rr du dzjf dp

Пусть -j— = p, следовательно, -r~ — -f—.

ax dx* dx

После подстановки получим уравнение с разделяющимися перемеянъшп

откуда

dp

Т=р'

zdx

интегрируя которое, имеем:

В-а1п(1-р)=-—lnd

Общий интеграл данного уравнения будет!

После преобразований получим:

s4- Ах"

205

Вторичное интегрирование дает:

у = х—Сге 'DI+CJ (57)

Интеграл в формуле (57) не может быть выражен черев конечное число элементарных функций.

б) Второй случай. Уравнение не содержит х. Примем ва новую функцию Р — > а за новое независимое переменное примем у. Тогда

dy d*y dp dp dy_ dp

dx ™ ' dx* dx dy ~dx dy

и данное уравнение сводится к уравнению первого порядна.

Для примера рассмотрим уравнение

Указанные выше подстановки приводит к уравнению dp

в котором переменные будут разделены:

страница 55
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
базальтовая вата роквул
трансфер в аэропорты москвы
чугунные скамейки
олимпийский концертный зал

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(21.07.2017)