химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом.

Так, например, тело при нагревании в течение промежутка времени dx получает приращение тепла, выражаемое дифференциалом dQ; при сжимании газа dV является тем изменением объема, которое вызывается приращением давления dP; в химическом процессе в течение времени dx количество превращенного вещества выразится дифференциалом dx от запаса вещества, способного подвергаться превращению, и т. д.

16

Пусть верхняя кривая, изображенная на рис. 1-4, есть график функции у = f(x). Проведем в точках с абсциссами х = 1, 2, 3 . . . касательные к этой кривой и рассмотрим треугольники оаа, ofib, оасс и т. д.

Производные в точках о, olt os и т. д. будут равны величинам отрезков ао, сс и т. д., так как стороны оа', оф', огс', . . . равны единице.

Если на нижнем графике построить точки с координатами (0, а'а), (1, Ь'Ь), (2, с'с) и т. д. и соединить эти точки плавной кривой, то эта кривая и будет графически представлять собою производную данной функции. При этом следует обратить внимание на то, что ординаты второй кривой могут оказаться отрицательными.

Первая частная производная функции и по ж есть функция от х и у, и ее можно продифференцировать по ж, оставляя у постоянным. В результате получим вторую частную производную и по ж, обозначаемую

Если продифференцировать по у, считая ж постоянным, то полученная при этом производная обозначается

дх ду

S 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Во многих случаях переменная величина и, зависит от двух и большего числа независимых переменных; функция имеет вид:

u = f(x, у, г, ...) (9)

При наличии только двух независимых переменных функциональную зависимость и = /(ж, у) можно представить геометрически поверхностью в пространстве.

Если мы примем у за постоянное, то и станет функцией от одного только х. Производная функции и, вычисленная при этом предположении, называется частной производной ог и по х и обозначается -j*.

Аналогично производная от и, вычисленная в предположении, чте меняется только у, а х сохраняет постоянное значение, обозначается и называется частной производной от и по у.

Геометрически есть тангенс того угла, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к кривой, получаемой сечением поверхности и = f(x,y) плоскостью, перпендикулярной оси OY и проходящей через точку, в которой вычисляется производная. ( Аналогично ~.

Частная производная выражает собою скорость изменения функции в предположении, что меняется только одно независимое переменное, а другие сохраняют

постоянные значения.

Выражения dx и jjjjdy называются частными дифференциалами функции и (но ж и по у); они с точностью до малых величин высшего порядка относительно dx и dy равны тем приращениям, которые получает функция и, когда изменяется только одно из независимых переменных. dy

(Ю)

du = Если изменяются оба независимых переменных, то полное приращение, которое получает при этом функция, с точностью до малых величин высшего порядка относительно dx и dy определяется полным дифференциалом функции, который обозначается du и который равен сумме ее частных дифференциалов:

ди dx-\- 18

Таким же образом дифференцирование дает две частные про-изводные второго порядка -щ- и Йх некоторых условиях

а3и

Т =дхду дудх Применим понятие полного дифференциала к уравнению газового закона:

PV

~R~

Построив прямоугольник (рис. 1-5) с высотой Р и шириной V,

получим, что площадь его А, разделенная на Я, должна равняться Т. Если Р и V получают бесконечно малые приращения dP и dV, то полный дифференциал Т на основании (10) будет равен:

Приращение Т, вызываемое приращениями dP и dV, пропорционально общему приращению площади прямоугольника, т. е. сумме зачерненных прямоугольников и небольшого углевого квадрата.

Между тем дифференциал dT, как видно из уравнения, пропорционален сумме зачерненных площадей VdP+PdV

и отличается от истинного приращения на небольшую площадь, пропорциональную произведению дифференциалов dP dV. Эта площадь является бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с dP и dV. Она пропорциональна той погрешности, которую мы допускаем, когда приращение функции заменяем ее полным дифференциалом.

§ 7. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЛОСКОСТНОГО И ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЙ

Пусть мы имеем прямоугольную плоскую пластинку незначительной толщины, обладающую, благодаря своему строению, различными по разным направлениям коэффициентами расширения, —

2* 19

например, пластинку кристалла ромбической системы, вырезанную перпендикулярно к одной из главных осей, между тем как стороны ее совпадают с двумя другими осями. Если ее нагревать, то она будет расширяться неодинаково по двум главным направлениям, сохраняя, однако, свою прямоугольную форму. Требуется определить ее термический коэффициент расширения е.

Этот коэффициент равен производной от площади F по температуре, отнесенной к единице площади.

страница 5
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
динамики для авто цена
сколько минут может ждать таксист пассажира
щит управления приточной вентиляцией ned
wizardfrost.ru

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(29.05.2017)