химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

В таком случае функции / и qp называются обратными. Найдем соотношение между производными у' (х) и х' (у). По определению имеем:

= lim 4 = lim 4-= Ц_ =

Длг-ю ах ьу„ Ах_ j. &х_

Д» до Ду

Следовательно

Тогда

х = Апу; x' = cosy = Vl — sinly — Vl — х* Перед корнем здесь следует брать знак -)-, так как при ---=Јy=S-2- косинус положителен. Отсюда заключаем:

(arcsin х)' =

х' Vi— х% Аналогично можно доказать, что

1 1(1

(агссовд)'=:- __ ; ("etgarjjq; (arcctgz) =-y-j-j

12. Производная сложной функции (функции от функции). Выведенные формулы не дают возможности находить производные от таких функций, как

у = Уа*~хЪ\ y = lnsinz; y = arcsine*

и др. Подобного рода функции называются функциями от функции или сложными функциями. Действительно, первая из них есть функция (корень квадратный) от подкоренного выражения, которое само есть функция от х. В общем случае пусть

V — yfM), а и = и{х)

причем и (х) и у (и) предполагаются дифференцируемыми функциями.

Тогда у является сложной функцией от х. Мы найдем:

Ах

Ду Ди Ди Ау Ау ,. Дм

Дм Ах » Ах-*-й Д* Да-*-о Д" Ддг-о Д*

Переходя к пределу, найдем следующую формулу для производной сложной функции:

у' (*)=?

х' (у)

у' (*) = !/' {и)-и'(х)

12

13

I

т, е. производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого промежуточного аргумента по основному.

Условимся в дальнейшем приращение независимого переменного Ах обозначать dx:

Ax = dx (5

Тогда из треугольника PLT имеем tgx = y'

dy = LT = PLtgT = y' dx (6;

т. е, дифференциал функции равен производной ащой функции умноженной на приращение независимого переменного.

Приведем выражения для дифференциалов некоторых рассмотрен ных нами функций:

d sin х = cos xdx\ dcosa:a= — sin j: . . dx

ddx

dt«X=-x-<

dnaf-idxi dlnx = — и т. д.

(7)

Присоединим сюда также формулы для суммы, разности, произведения и частного: й (и _). „ — ц>) = du+do — dw d(uv)—v du + udv u v du. — и dv

d[cf(x)]=cdf(x), dc = 0 и т. д.

Примеры.

2) d

1) d(xlnx) = lnxdx+x&='(i + lnx)dx

(а + х)* +

\ а + х J

3) у

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

К понятию дифференциала приводит нас задача о вычислении приращения функции. Пусть кривая (рис. 1-3) есть график функции у = / ИРассмотрим на этой кривой две точки Р и PL с абсциссами я и х -f. Да:. Приращение функции между этими точками равно Ау и геометрически представляется отрезком LPj.

Заменим теперь дугу кривой PPj касательной ЯГ к этой кривой в точке Р и рассмотрим то приращение, которое получила бы функция, если бы точка описывала не дугу PPlt а отрезок касательной РТ. Это приращение обозначают dy и называют дифференциалом функции

Приведем еще одну часто употребляемую формулу, получаемую при делении формулы (7) на uv, а именно:

d (uv) du , dv

uv и * v

Если рассмотреть вопрос с физической точки зрения, то дифференциал функции равен тому приращению, которое получила бы эта функция, если бы на участке от х до х + dx она изменялась с постоянной скоростью, а именно с той скоростью, с которой функция изменяется в точке х.

В технических приложениях обычно вместо приращения функции рассматривают ее дифференциал. Это приводит к сильным упрощениям в вычислениях. Однако следует помнить, что при этом совершается ошибка, которая будет тем меньше, чем меньше dx. Можно показать, что эта ошибка приблизительно равна A (dx)2, где А — некоторая постоянная. С уменьшением dx эта ошибка быстро стремится к нулю.

Из формулы (6), определяющей дифференциал, следует:

(8)

§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если от производной у' = }'(х), которая являегся функцией от х, взять еще раз производную, то получим новую функцию, которая называется второй производной данной функции f(x). Вторая производная обозначается следующим образом:

У ИЛИ / (X) ИЛИ -gjjТак как первая производная с физической точки зрения пред- . ставляет собою скорость изменения данной функции, то вторая производная, очевидно, выражает собою ускорение, с которым изменяется данная функция.

Если от второй производной взять снова производную, то получим третью производную, которую обозначают так:

d3u

у или 1 (х) или -дАналогично определяются производные любого порядка. Для производной порядка п применяют следующие обозначения:

у№ ИЛП /<"> ИЛИ -0Производные высших порядков обычно находятся путем последовательного дифференцирования. Приыер.

у=х*1пх; у'= 2х in х + х / = 2 to 1 + 3; У'" = -7 и т. д.

§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Зная геометрический смысл производной, мы можем, имея график Некоторой функции, построить график ее производной.

Производную функции можно, таким образом, рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. Наряду со штриховым обозначением производной, весьма употребительно также обозначение ее в виде отношения дифференциалов (8)..

Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс

страница 4
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
прокат ноутбука в москве
Рекомендуем фирму Ренесанс - металлическая лестница фото - доставка, монтаж.
кресло престиж в 14
KNSneva.ru - гипермаркет электроники предлагает Kyocera FS-4100DN цена - оформление в онлайн-кредит в Санкт-Петербурге.

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(10.12.2016)