химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

выполнения этого условия иногда требуется предварительное преобразование уравнения, например замена его обратной функцией.

Пример. Найти решение уравнения / (х) — — In х = 0 способом повторения.

Из заданного уравнения находим х = 3 In х = ф (х).

Задаемся приближенным значением х± = 4. Последовательно находим:

as = 4,24914054

Ъ — a

в) Метод линейной интерполяции. По способу линейной интерполяции приближенным значением корня уравнения / (х) = 0 будет:

xl==a — f la).

lib)-На)

где а и Ь — грубые приближения, причем / (а) и / (Ь) имеют разные знаки. Геометрически способ линейной интерполяции равносилен замене кривой у =«= / (х) хордой, соединяющей точки [а, / (а)] и [b, f (Ь)] (рис. XXV-1), а способ Ньютона равносилен замене той же дуги касательной.

50*

г3 = 31п4 = 4,158; z9 = 4,500

Яд — 3 In 4,158 = 4,275; x$~ 4,512

Х 3 In 4,275 = 4,359: 4,521

? 3 In 4,359 = 4,416; xn = 4,527

4 = 4,455; *12 = 4,530

хп = 4,482; x13 = 4,533

XU = 4,533

787

д) Отделение корней. Не всегда удается легко определить пределы, между которыми лежат корни уравнения. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть дано уравнение:

/(*) = i8-7z+7 = 0 Составляем табличку значений х и у:

х=0; 1; 2; 3 ..,

у = Т, 1; 1; 13... Соответствующая кривая

у=;г2-7* + 7

как выяснится дальше, пересекает ось ОХ в двух точках, лежащих между точками с абсциссами х = 1 и х = 2, между тем из таблички этого не видно. Из нее ясно лишь, что кривая достигает своего минимума между х = 1 и х = 2, но неизвестно, лежит ли этот минимум выше или ниже оси ОХ. Чтобы выяснить этот вопрос, нужно вычислить минимум. Пользуясь методом, изложенным в гл. I, приравниваем нулю первую производную

/' (х) = 3*2 —7 = 0

откуда:

Нас интересует первое из этих значений: .= /1 = 1,5...

Находим:

Так как у1 отрицательно, то, значит, кривая, проходя под осью ОХ, пересекает ее в двух точках между х = 1 и х = 2; следовательно, в этих пределах лежат два корня уравнения.

Перейдем теперь к их нахождению. Так как минимум лежит близко к х = 1,5, то мы составляем следующую табличку:

* ... 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

у . . . 0,097 —0,056 —0,125 —0,104 0,013

Один корень лежит между 1,3 и 1,4, другой — между 1,6 и 1,7. Вычислим второй из них, пользуясь уже знакомым нам методом Ньютона:

/(х) = гЗ—7*+7

/' (I) = 3I2-7

783

*, = = —0,008

Первое приближение равняется 1,7 = 0,008 = 1,692. Дальнейший ход вычисления остается прежний.

е) Число действительных корней уравнения. Рассмотрим алгебраическое уравнение четвертой степени х* + а3х" + а2гг + ахх + + а0 = 0. Обозначим его левую часть через у. Если х — очень большое по абсолютной величине положительное или отрицательное число, то у также делается очень большим числом, притом положительным, так как первый член х1 становится значительно больше остальных членов. Поэтому кривая, соответствующая этому уравнению при больших положительных и отрицательных значениях х, лежит над осью ОХ. Если же она пересекает эту ось и вследствие этого переходит в область отрицательных значений у, то она необходимо должна пересечь ось ОХ в другом месте, чтобы опять попасть в область положительных значений у, т. е. это уравнение имеет или 4, или 2, или ни одного действительного корня. Это утверждение справедливо для всех уравнений 4-й степени.

Иначе обстоит дело с уравнениями 3-й степени.

Выше было указано, что кривая

Y = XB — 7x + I

при больших положительных значениях х проходит над осью ОХ, при больших отрицательных значениях х — под осью. Это происходит от преобладающего влияния ж3, которое будет положительным при положительном х и отрицательным при отрицательном х. Следовательно, кривая неизбежно должна хоть раз пересечь ось ОХ. Если же она пересекает ее больше одного раза, то она должна пересечь ее в 3 раза, т. е. рассматриваемое уравнение, как вообще всякое уравнение 3-й степени, имеет 1 или 3 действительных корня.

Обобщая эти выводы, можно сказать, что уравнение нечетной степени должно иметь один действительный корень или любое нечетное число их; уравнение четной степени имеет всегда четное число действительных корней или не имеет вовсе. Исключением будет тот случай, когда кривая касается оси ОХ. Тогда в точке касания совпадают две точки пересечения.

Из элементарной алгебры известно, что квадратное уравнение имеет два корня, уравнение 3-й степени — три. В курсах высшей алгебры доказывается, что всякое уравнение га-й степени имеет п корней. Среди этих корней могут быть кратные и комплексные корни.

Геометрически это означает, что кривая

у = хп + ахп-1-Ьхр-*-\- . . . -\-px+g

пересекается с осью абсцисс не более, чем в п точках.

789

ж) Трансцендентные уравнения. Часто уравнение, составленное в процессе решения той или иной технической задачи, оказывается трансцендентным, т. е. содержащим логарифмы, тригонометрические функции и др. При этом из условий задачи невозможно заранее предвидеть, будет ли уравнение трансцендентным. Ниже приводится задача, решение которой приводит к трансцендентному

страница 209
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
wizardfrost.ru
msuper v3
такси безнал
стоимость фильтра для вентилятора bfp-30-01-r.1660

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(27.04.2017)