химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

если мы придадим х очень большое значение, хъ будет сильно превосходить эти члены и отсюда можно заключить, что для положительных значений ж, больших 10, величины у также будут лежать над осью ОХ. Когда же х получает большие отрицательные значения, то у — отрицательно и кривая лежит под осью ОХ. Составим следующую табличку соответственных значений х и у:

х = — 3; —2; —1; 0; 1; 2; 3 у= -5; 7; 7; 1; —5; -5; 7

783

Из этих данных следует, что кривая пересекает ось ОХ между точками г = 2 в J = 3, а также между ж = 0иг=1и, наконец, между х = —2 и х = —3, так как во всех этих случаях ордината меняет свой знак.

Теперь попытаемся найти значения корня между 0 и 1. Полежим

i=0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4

и определим соответствующие у:

у = 1; 0,301; —0.392 . . .

Отсюда мы заключаем, что значение корня находится между ОД и 0,2.

Очевидно, что можно продолжать такой прием и дальше, уточняя значение корня, но, чтобы избежать необходимых для этого довольно длинных вычислений, можно применить другой метод.

Предположим, что

г3—7*+l = /(z)

кроме того, обозначим величину корня, лежащего между 0,1 и 0,2, через ?, так, что:

Ш = ?а-7ь+1 = 0

Так как мы нашли, что корень лежит между 0,1 и 0,2, то можно взять в качестве первого приближения число 0,1. Таким образом

Ј = «i+fci

где аг = 0,1 и ht — необходимая поправка.

Разложим функцию / (а1 + в ряд Тейлора по степеням ht:

h2

f (В1 + &!) = / (AJ + lhf («О + YF Г + ? ? •

Так как все производные функции / (?), начиная с производной четвертого порядка, равны нулю, то

/(?)=/ <«i+Ai)=/ (ei)+*i/'(«i)+ Г Ы +773"r" <«i> =°

Ограничиваясь линейным относительно ht представлением, мы с некоторым приближением найдем

откуда

/(«i)+Aif («0 = 0

"i т

Г («0

В рассматриваемом нами случае

6,97

0.301

*1=откуда приближенно

*1 = 0,043

т. е. новое приближенное значение корня равняется 0,1 + 0,043 = 0,143 =» а2. Затем полагаем

J = в, + А,= 0,143 + А2

и для приближенного нахождения й2 пользуемся формулой:

Ла—ТЫ Отсюда для данного уравнения находим

, . 0,001924 __.пппгря Аг= 6,93865 О'00028

что даст значение корня 0,14328.

Продолж»ем поступать также, т. е. полагая

Ј = 0,14328 + A3 = a8 + fc3

/(«а)

Лз=находим:

s —0,0000026

Г ы

Отсюда для искомого корня получаем следующее значение:

Z =0,1432774. . . Значение корня с точностью до 8 знаков равно: 1=0,14327732

Следовательно, использованный нами приближенный способ дал результат, верный до шестого десятичного знака включительно. Этот способ был предложен Ньютоном.

Как мы видели, этот способ сводится к следующему. Сначала находят грубое, приближенное значение аг искомого корня х и находят первую поправку h1 по формуле:

1 г («О

Затем вычисляют более точное значение корня:

Далее, таким же способом может быть найдено еще более точное значение а3 и т. д., пока результат не будет отвечать требуемой степени точности.

И, вообще:

«ЛИ = «Л

Заметим, что ряд последовательных приближений сходится, т. е. корень х уравнения может быть найден с любой точностью, если этот корень ие кратный [т. е. /' (х) 0,1, если первое приближенное

784

50 Заказ 1706

785

значение aL искомого корня мало отличается от истинного значения корня и если, кроме того, / (at) и /" (et) имеют одинаковые знаки. Пример. Требуется найти корень уравнения:

/ (х) = —4z2 — 2х + 4 = 0

Составляем следующую табличку:

х= — 2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5

У=—16; 1; 4; —1; —8; —И; -4; 19

Как видно, кривая пересекает ось ОХ между абсциссами —2 и —1, между 0 и 1 и между 4 и 5; поэтому между каждой парой этих чисел заключается по одному корню уравнения.

Вычисляем корень, лежащий между 4 и 5. Мы найдем

г= 4. 4,1; 4,2; 4,3 i/=—4; —2,510; —0,872; 0,497

корень лежит между 4,2 и 4,3. За первое приближение примем:

я! ==4,25

*1 =

0,015625 18,1875

Согласно формуле (30) найдем первую поправку:

= —0,000859

Второе приближение к корню равняется а2 =4,249141

— 0,00000046 .

/(аг) /' («а)

Находим далее

0,0000083933 18,172

откуда

Пример. Решить уравнение / (ж) = х3 — 2х — 2 = 0 способом линейной интерполяции.

2—1

Так как / (1) = —3, а / (2) = +2, то корень х находится между 1 и 2. Поэтому

*1=1-(-3);

?'г-(-з)

*i = l,60; / (Si) = —1,10 Следовательно, искомый корень находится между 1,6 и 2. Сле2 — 1,6

дующее приближение:

*а = 1,6—( —1,10)' 2 —( — 1.10) *з = 1.74; /(i"s)= —0,212 Берем еще одно приближение к корню, лежащее между 1,74 и 2:

4= 1,74-(-0,212) • 2_2(~2412) -1,765

Так как / (х3) = +0,020, то зто приближенное значение корня дает достаточную точность решения уравнения.

Г) Способ повторения (итерации). Этот способ заключается в том, что подлежащее решению уравнение / (х) — 0 преобразуют в новое уравнение х = ер (х) и, задаваясь первым приближением х±, последовательно находят более точные приближения хг = <р (жх), х3 — ф (жа) и т. д. Решение может быть получено с любой степенью точности, при условии, например, что в интервале между первым приближением и корнем уравнения |ф'(ж)|<1. Для

страница 208
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
как определить дееспособность
индивидуальное обучение 1 с бухгалтерия зеленоград
Установка автосигнализации StarLine A62 Dialog
маникюрные курсы

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)