химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

огрешность синуса и косинуса меньше абсолютной погрешности их аргумента, а абсолютная погрешность тангенса и котангенса больше абсолютной погрешности аргумента. Поэтому, например, при нахождении угла по тангенсу погрешность всегда меньше, чем при определении его по синусу. Погрешность тангенса наиболее велика для углов, близких к прямому, так как для таких углов cos х очень мал; погрешность котангенса, наоборот, велика для малых углов, когда мало значение sin х. Поэтому малые углы не следует вычислять по их котангенсу, а большие (близкие к 90°) — по тангенсу.

Из формул (12) следует, что

fsin *= I ctS * I «*; x = I tg x I a» и т. д.

Пример. Сравнить абсолютные погрешности определения угла, близкого к 60°, при пользовании пятизначными таблицами логарифмов синусов и логарифмов тангенсов.

Г <*);

Если / (х) = lg sin х, то, согласно (9):

А1 1X1 0,434 ctg Х

= 0,00002 радиана 4'.

При пользовании пятизначными таблицами af m = 0,000005;

Уз

, спо Уз тт 0,000005

ctg 60 = —J-. Поэтому

Если / (х) = lg tg х, то

«V c*i sin z cos я 0,000005 1

Уз

0,434

0,434

0,434

= 0.000005 радиана =1"

Таким образом, при пользовании таблицами логарифмов тангенсов погрешность будет в 4 раза меньше, чем при пользовании таблицами логарифмов синусов.

в) Погрешность сложных вычислений. При сложных вычислениях, заключающихся в нескольких последовательных операциях, например при вычислениях по формулам, обычно решается одна из двух следующих основных задач. Или требуется определить погрешность результата на основании известной точности исходных величин, или, наоборот, при необходимости получить результат с заданной точностью, определяется нужная точность исходных данных. Решение этих задач основывается на использовании рассмотренных выше правил для элементарных математических операций:

Здесь ах в радианах.

774

погрешность аргумента, т. е. угла х, выраженного

6„_ь =

77Я

V о

> = 8а8»

\an = I n I ? a a

'?TZTT и т- ДОтвет: т =20 (1 ±0,13) мин или х =20±2,6 мин.

=1164 СЕК

Итак, истинное время опорожнения резервуара находится в пределах от 17,4 до 22,6 мин. Разность этих пределов составляет более 5 мин. Поэтому нет смысла давать ответ в следующем виде

2-12-Уъ 0,61 • 0,032 • У2 -9,81

Исследовать точность вычислений необходимо лишь тогда, когда имеются сомнения в возможности получения результата желаемой степени точности. Обычно вполне достаточно вести вычисления с числом знаков на один больше, чем их требуется в результате, а затем округлять результат до нужного количества знаков. В технических расчетах очень часто приходится использовать эмпирические коэффициенты, точность которых весьма мала. При атом вообще не имеет смысла вести вычисления больше, чем с двумя-тремя знаками.

Пример. Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглое отверстие в днище.

Данные для расчета: диаметр резервуара Z> = 1 ±0,01 м, высота уровня жидкости Н = 2 ±0,02 м, диаметр отверстия в днище d = = 0,03 + 0,001 м. Коэффициент расхода а = 0,61±0,02.

Расчет ведется по формуле:

20А УТГ

X — •—СЕК

а& У 2%

0,02

100 = 1%;

0,001 ' 0,03

•100 = 3,3%

Определим прежде всего относительную погрешность результата 6t и число верных знаков для т, которые можно получить при данных условиях. Для этого вычисляем относительные погрешности исходных величин:

0,01

ioo=i%; 6Н=

6« = -щ--100 = 3,3%

1 . -7Г 62

2б,(Примем значение g=9,81 ж/сек2. Тогда 6г =0,56 (см. стр.760). Численные множители 2, входящие в числитель и знаменатель формулы, — точные числа и их погрешность равна нулю:

8, = 2ов+-±-оя = о.-|

8, = 2-1+-|-1+3,3 + 2-3,3+-|-0,56= 12,68 я» 13%

1200 сек — 20 мин

При такой погрешности искомый результат в лучшем случав может содержать одну верную цифру. Вычисление дает:

0,61 • о.оз2 • Угш

776 т. е. производить вычисление с точностью до 1 сек.

Пример, Найти погрешность вычисления объема газа при температуре около 100° С по заданному его объему при 0° С. Вычисление ведется по формуле:

V=V0 (1 + а*)

где V0 — объем газа при 0° С;

t — температура газа, °С;

а = — коэффициент объемного расширения газа. Относительная погрешность результата вычисления по приведенной формуле равна:

1 ev= °г, + 8(i«0 = 6v.+J+oT 6l + ТТо7 6«'

Так как бх = 0, а 6а< = 6„ + 6,, то

67 = 6v. +Т+1ГГ (6«+6() = +°'27 (6<" + 6/)

Допуская, что погрешности измерения о и f не превышают 1%, получим:

6у = 1+0,27 (1 + 1) » 1.5%

Пример. С какой точностью должны быть известны величины V0, а и ( в предыдущем примере, чтобы погрешность вычисления объема газа не превышала 1%?

При решении предыдущей задачи установлено, что

8,, = 8+0,27 (8„+8()

Если принять, что величины V0, а и t измерены с одинаковой погрешностью 6, то

6Г< 8+0,27 (6+6)

или

8У< 1,546

Следовательно, для того чтобы 6у было меньше 1%, достаточно, чтобы погрешность исходных величин не превышала j-=r- =0,65%.

Пример. Вычислить теплоемкость твердого тела на ос

страница 205
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
HP EliteOne 800 G3 All-in-One 1ND18EA
размещение фото на доску почета
ручки для мебели магазин в москве
купить цифры на клейкой

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(23.10.2017)