химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

>i-l 1-1

Приравнивая нулю частные производные от этой функции , хг,. . ., ж„, придем к следующей системе уравнений:

П _

2 2(«Й + Ц+ ? • • +lixn — ft)ai = 0

i=l

П _

2 2 ("i*!+ ? • • +'Л-/() W = 0

ХП— ХП~Т~П

Числа \, являются поправками, которые нужно прибавить к грубым значениям неизвестных а:,, хг,. . ., х„, чтобы получить наиболее вероятные их значения.

. т)

(2)

Подставив эти значения в данную систему уравнений, получим:

(' = 1. 2,

2 2(Й,-Х,+6.2+ . . . +ltx~n-f[) (,=0 Собирая вместе члены, содержащие i„ хг,. . ., х„, получим:

Разложим левые' части этих уравнений в ряды Тейлора (см. гл. XIII — «Ряды») и ограничимся членами с первыми степенями. Получим:

дх{ Xl~~ дхг

(г = 1, 2, . . ., т)

(3)

2м> W+ 2 '! **+ • ? • +2bi't И.-2АД=°

(5)

Эта система, определяющая поправки к найденным выше приближенным значениям неизвестных, является линейной. В силу этого в дальнейшем ограничимся лишь рассмотрением линейных систем условных уравнений вида (1).

§ 3. ПРИВЕДЕНИЕ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИИ К НОРМАЛЬНЫМ

Обоаначим искомые наивероятнейшие значения неизвестных через xlt ха,. . ., хп.

При подстановке этих значений в условные уравнения, они, вообще говоря, удовлетворяются не точно: в правых частях мы полу666

2 HIH *i+ 2 • • ? + 2 Ч ;»-2 W-=°

Полученная система n уравнений с n неизвестными называется системой нормальных уравнений и служит для отыскания наивероят-нейших значений неизвестных, при которых сумма квадратов невязок (ошибок) в уравнениях будет минимальной. Отсюда и название: «способ наименьших квадратов».

Введем следующие обозначения:

2"" = М; 2AI(,( = ["6L: • • ?< 2W' = F'1

667

Тогда система нормальных уравнений примет следующий вид!

[«"] *1 + И1*2 + • • • +И1*а = [«Я [ba\zl + [bb]xi+ . . . +[Ы];„=[Ь/]

[la]x1+[lb]xss+ . . . + [11]'хп=[Щ

Мы имеем п уравнений с п неизвестными, решив которые, получим наивероятнейшие значения искомых величин.

§ 4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ НАЙДЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Средняя квадратичеекая ошибка неизвестного хк> найденного по способу наименьших квадратов, определяется по формуле:

п

В этой формуле 2 I2 есть сумма квадратов правых частей услов-i-i

ных уравнений после подстановки в них найденных из нормальных уравнений наивероятнейших значений неизвестных.

Величина равна отношению определителя, составленного из коэффициентов нормальных уравнений

[аа] [ab] [ас] . . . [ab] [Ьа] [bb] [be] . . . [Ы] [са] [сЪ] [сс] . . . [cl]

к тому минору, который получается из него путем вычеркивания строки и столбца, имеющих номер к.

Доверительные границы найденных значений и их характеристики можно получить следующим образом. По доверительной вероятности а и значению к = п — т из таблицы Стьюдента (см. приложение) найдем значение t . С вероятностью а мояшо утверждать, что истинное значение неизвестной xt отличается от найденного методом наименьших квадратов не больше чем на величину ?ви,,.

Пример. Решить методом наименьших квадратов систему уравнений:

5,7;с — 4,4.1/ = —1,4 3,6*+l,9i/= 9.1 4,1*+8,21/= 22.7 8,4*+3,1!/= 18,3 ll,0i+5,2-/= 22,0

Для составления нормальных уравнений и для оценки точности корней, составим табл. XXII-1.

Для контроля вычислений в таблицу введены дополнительные столбцы 5, 9 и 13, содержащие суммы коэффициентов нормальных уравнений и их произведения. Итоговые числа (121,5; 910,0; 626,9) получаются суммированием по вертикали и горизонтали и должны быть равны друг другу. Небольшие расхождения (626,9 и 626,8), конечно, не играют роли.

Полученные нормальные уравнения

253,9*+98,5j/ = 557,6 98,5z + 126,8y = 401,5

имеют корни;

98,51 126,8 I

Для оценки их квадратичных ошибок в столбцах 14 — 17 табл. XXII-1 вычислены SS! = 0,10. Находим величины Gx и Gu, входящие в формулу (6):

22 500 127

Чх 177

253,9 I 98,5

126,8

22 500

w*~~254

0,10

= 0,014

Следовательно, по формуле (6):

»x=Y

= 0,019

177 (5-2)

IO

,3

I 5. ПРОВЕДЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

Решить систему уравнений, приведенных на стр. 665 или, что то же, провести через указанные на рис. XXII-1 точки наиболее

близко проходящую к ним прямую.

Составляем нормальные уравнения и решаем их:

88*+14у = 51,6 14Е+5==10,9

Имеем: х = 0,432 и у = = 0,971.

Следовательно, уравнение искомой прямой будет: г = 0,432* +0,971

§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При проведении кристаллохимических исследований измерены углы (рис. XXII-2):

у = ЛОВ = 32" 20' 23" при относительном весе g± = 1

у = ВОС = 40" 14' 50" » » » g2 = l

z = -= СОВ = 30°42' 30" » » » ft = l

Более точное измерение углов дало:

z + y = АОС = 72935'09" при относительном весе ft = 5

z+y + z = .400=103° 17' 51" » » » g2 = 5

y + z=BOZ)= 70°57'25" » » . » g3 = 5

670

Требуется найти наивероятнейшее значение ЛОВ, ВОС и СОО.

Запишем первоначальную (условную) систему уравнении: у = 322 20' 23"; г + у = 72° 35' 09" у = 40°-14' 50"; i+j/ + z = 1035 17' 51" 2 = 30 42' 30"; u + z = 70°-57'25"

Примем за новые неизвестные сле

страница 177
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
дом под ключ цена новая рига
выправить багажник цена
Нож поварской Classic 20 см
парк патриот цена билета

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)