химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

я z, х ж у через г, х и у, а их средние квадратические отклонения, соответственно, через стг, ах, оу, можно показать, что

г = ах+Ьй (33)

и

o| = a«ox+WoJ (34)

В частности, если z = x + j/, то мы имеем: i = x + g п c| = oJ + a} Пример. Предположим, что х может принимать значения 10, 11, 12, а у может принимать значения 6, 8, 10. Следовательно, х = 11 и у = 8, и мы имеем:

Если z = х + у, то г может принимать девять значений, которые получаются путем прибавления трех значений х к каждому из трех значений г/, а именно:

16 18 20 17 19 21 18 20 22

Отсюда следует, что г =. 19; это подтверждается равенством г==х + г/.

Точно так же

, ЗЧ-23 + 2-1г + 0 + 2-1'+2' + 32 _ 10

о, g f

что подтверждает формулу (34).

644

Если z~x—y, то значения для г будут

4 5 6 2 3 4 0 1 2

и, стало быть, г = 3 в соответствии с z = x — {/. В этом случае для дисперсии получим:

, 33+2'+2-12+0 + 2-12 + 2а + 33 _ 10

°г 9 Г

что подтверждает формулу (34).

Формулы (33) и (34) обобщаются на случай линейной функции любого числа случайных величин.

Предположим, что xlt х2, . . ., хп — независимые случайные величины, средние значения которых соответственно равны: х5, х2, . . ., хп. Обозначим дисперсии этих величин через а\, о2, . . ., of,.

Рассмотрим некоторую линейную функцию

z = A1z1 + fc2x2 + . . . +к„хп

этих величин, которая также будет некоторой случайной величиной. Можно показать, что среднее значение величины z будет

г = к1х1 + кгхг+ . . , + кпх„ (35)

а дисперсия величины z определится по формуле:

°1=*101 + *:1о1+ • ? ? +*8°л ' (36)

Формулы (33) и (34) .являются частными случаями формул (35) и (36). Отметим некоторые частные случаи этих формул.

1. Пусть

2 = 3 + 2+ . . . -\-Хп

Тогда

1 = +;,+ ... +хп; о| = о? + о!+ . . . +ot (37)

2. Если все величины xL, хг, . . ., хп обладают одной и той же

дисперсией ог, то дисперсия их суммы z = xL + х2 + . . . + хп будет:

о| = ПО2 (38)

Среднее квадратическое отклонение ог в этом случае будет равно:

аг = аУ~п (39)

3. Пусть z есть среднее арифметическое п случайных величин

Ж2> ? • ?» Я-п'

Х1 -М2+ ? ? ? +хл п

645

(40)

°г р

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение величины z определяется по формулам:

ol = i-Kor + o}+ . . . +0-*

4. Если о.

Здесь (--г) и означают частные производные функции ф,

вычисленные при х = х и у=у. Формула (42) дает уже линейную зависимость между z и х, у.

Применяя формулы (35) и (36), найдем для среднего значения z и дисперсии о\ следующие выражения:

(41)

= Ф у)\

(43)

Отсюда, между прочим, следует, что если хг, хг, . . ., хп — результаты измерений какой-либо величины, то точность среднего арифметического в раз больше точности отдельных измерении, что было получено ранее.

Пример. Для одной и той же величины имеются 250 наблюдений с средней квадратической ошибкой 3 и 400 наблюдений с средней квадратической ошибкой 5.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку для среднего арифметического каждой серии наблюдений и среднюю квадратическую ошибку разности между этими средними.

Средние квадратические ошибки для средних первой и второй серий наблюдений будут:

VAOO

=0,19

= 0,25

= 0,31

Средняя квадратическая ошибка разности между двумя средними будет:

°=l/(yir)2+(yw

Предположим теперь, что z есть произвольная функция нескольких случайных величин. Для простоты допустим, что z есть произвольная функция двух случайных величин х и у:

2=ф (Z, у)

Обозначим, как и раньше, х и у — средние значения величин х и у, a of и а\ — их дисперсии.

Мы можем найти приближенные выражения для среднего значения г и для дисперсии <г|, применяя следующий метод линеаризации функции ф {х, у).

(42)

Разложим эту функцию в степенной ряд по степеням х — х и у—у, причем ограничимся лишь первыми степенями этих разностей:

=я>йй+(?)<.-э+(?)<*-й

Эти формулы и решают вопрос о нахождении среднего значения и дисперсии нелинейной функции двух случайных величин.

Следует подчеркнуть, что эти формулы — приближенные, так как при их выводе была использована приближенная формула (42).

Пример. Радиус цилиндра х = 2,1 ± 0,1 см, его высота у = = 6,4 ± 0,2 см.

Определить объем цилиндра и его среднюю квадратическую ошибку. Среднее значение объема находим по формуле:

V = ny = 3,U-2.i2- 6,4 = 88,7 Дисперсию определим, применяя формулу (43):

°F= (2га5)2 0,01 +(J"2)2 0,04 = 73,93

Извлекая квадратный корень, найдем среднюю квадратическую ошибку определения объема цилиндра:

а = 8,6

Следовательно

У= 88,7 ±8,6

Пример. Показатель преломления для стекла призмы sin +

sin-i- А

где А — угол призмы;

D — угол минимального отклонения. Результаты нескольких измерений А и D дают:

А = 60° 5,2' ± 0,2' и Д = 46°- 36,6' ±0,4'

Определить показатель преломления призмы для известной длины волны света. Так как

1

и (A + D) = 53°20,9' - А = 30? 2,6'

646

647

sin-Л

0,500655

SinyO0,79

Применяя (43), найдем для средней квадратической ошибки: дп у{у(л+Д1~?5'п1(-4 + °'С04А

sm-D

1—COS A

sin 23° 18,3'

страница 170
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
облицовка сайдингом в малоярославце
liebherr cp 4003 коды ошибок
Наборы ножей В подставке в москве
где купить шашечки на такси пермь

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(06.12.2016)