химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

x

h \" -h<

Условимся говорить, что это есть вероятность того, что при измерении сделана ошибка х — xt. Применяя теорему умножения вероятностей, найдем, что вероятность того, что при п измерениях будут сделаны ошибки х — xlt х — хг, . . ., х — хп, определится формулой:

(A)

.-h' (x-xt)' ,-!>* (*-*,)' . , . е-"' (*-"»)' (dx)n

I h у -h' S L'-'i)'

628

Ч>(*) =

Нам надо определить, при каком значении х это выражение будет иметь максимум. Это, очевидно, будет в том случае, когда

629

показатель степени у числа е будет иметь минимум, т. е. при минимуме суммы:

2 (x-xtf

Известно, что для нахождения зтого значения х нужно приравнять нулю первую производную:

2 2(i-i,')=9 Определяя отсюда х, найдем:

xl + xi + . ? ? хл

п

Мы нашли, что наивероятнейшим значением измеряемой величины является среднее арифметическое из полученных результатов измерений:

§ 7. ОЦЕНКА МЕРЫ ТОЧНОСТИ И СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ ОТДЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Согласно нормальному закону распределения, вероятность того, что в процессе измерений получены ошибки, заключенные между х — х( и х — г, -)- dx (i =1,2, . . ., п), равна:

h dx \п -ft" 2 (*-*()'

(hdx\

Определим, при каком h зта вероятность будет наибольшей. Прологарифмируем предварительно выражение (А) и, взяв затем производную по h, приравняем ее нулю. Мы придем к уравнению

х—х,)* = 0

(14)

из которого найдем h:

2 2

и найдем ее приближенное значение. Очевидно

2>

Возводя последнее равенство в квадрат, получим*:

п

»ч»=2 2 2 (X-XI)

I-1 I I

Сумма 2 2 будет содержать как положительные, так и отрица-' /

тельные слагаемые, причем если п велико, то число положительных и отрицательных слагаемых будет приблизительно одинаково; значит, при большом числе наблюдений второй суммой можно пренебречь. Таким образом

п

2(*-*<)2=л212 (!«)•

Составим ту же сумму 2 (г — z,)2 несколько иначе. На основа-I-I

нии формулы (15) х=\+х и, следовательно

x — xi = i+x — x,

Возводя в квадрат и суммируя по всем ь от единицы до п, получим: (*-*,)« = |» + 2| (х-х,) + (5-4)*

2 {х - *<)а=я?+2i 2 (*- */)+2 (*или, учитывая, что 2 —xt) = 0:

2(-=«52+2(J-;c<)2 (")?

Исключив из системы уравнений (16) и (17) величину I, найдем:

Знаменатель подкоренного выражения мы вычислить не можем, так как истинное значение х измеряемой величины нам неизвестно. Обозначим через х среднее арифметическое измерений и установим связь 2 КХ — с легко вычисляемой суммой квадратов отклонения отдельных наблюдений от их арифметического среднего 2(2 — г/)а.

Для этого обозначим через \ разность между истинным значением х и средним арифметическим х

(18)

(19)

п =

Подставляя это выражение в знаменатель подкоренного выражения формулы (14), найдем:

,/ "-1

|/ 2 2 (*-*<)'

1 = х—х

(15)

631

Пользуясь этой формулой, можно найти выражение для среднего квадратического отклонения и для дисперсии отдельных измерений. Вспоминая, что величины а и h связаны зависимостью (12)

1Y2

получим!

V П — l п(20)

Формула (19) определяет то значение меры точности А, при которой вероятность получения данной системы ошибок будет наибольшей.

Зная меру точности, можно решить целый ряд практически важных вопросов по оценке точности измерений.

.-H4'.

Пусть для заданной серии наблюдений найдено их среднее арифметическое х, вычислена по формуле (19) мера точности h и построен график функции нормального распределения:

/(?> =

Определим, пользуясь этим графиком (рис. XXI-4), какова вероятность, что ошибки отдельных наблюдений не превосходят по абсолютному значению заданной величины г, т. е. заключаются в пределах от —г до -f-r.

На основании изложенного выше эта вероятность изображается площадью ABCDE, т. е. интегралом:

Искомая вероятность (22) выразится черев эту функцию следующим образом;

РЦх-х\<Г) = Ф(ПГ) = Ф(—У= (22)

Таблица функции Ф приведена в конце книги.

5 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В ЖИДКОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ РАЗМЕРОВ

Рассмотрим твердую частицу произвольной формы с объемом V и поверхностью А. Диаметр Dc шара с тем же объемом находится из уравнения:

Он равен:

ОС

Величина Dc называется номинальным (условным) диаметром частицы. Площадь поверхности этого шара равна Ас = nD*. Рассмотрим отношение X = А : Ас. Величина 1/л называется сферичностью данной частицы. Для специального случая сферической частицы X = 1, но для других форм X > 1.

Если номинальный диаметр частицы установлен каким-либо способом (например, максимальным линейным размером частицы) и обозначен через Dp, то объем V и площадь поверхности А могут быть выражены так:

7=Ф„-2-В|; Л = Ф„пО|

где Фи — объемный коэффициент;

Фа — поверхностный коэффициент. Эти коэффициенты определяются формулами!

Учитывая четность подынтегральной функции h и производя замену переменной интегрирования h% = t, получим следующее выражение для искомой вероятности:

и

шласа Ф (х), уж > распределения

HR

(21)

Вспомним функцию Лапласа Ф (х), уже встречавшуюся нам при изучении биноминального распределения:

632

В

страница 166
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
волейбольные гольфы женские
купить планшеты hp
контактные линзы на один день
проектор напрокат подольск

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.09.2017)