химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

ое ожидание определяется формулой (11). Следовательно, для нормального распределения:

со

М (!) = -?=- С e-h'xdx К я Jco

Положим x—a<=z. Тогда получим:

со со

У к J Ул Jсо -со

Первый из этих интегралов равен нулю, так как его подынтегральная функция четная, а пределы интегрирования симметричны

относительно начала координат. Второй же интеграл равен

как это показывается в курсах анализа. Следовательно

М (х) — а

Точно так же можно показать, что дисперсия величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, будет равна

Если математическое ожидание а равно нулю, то это уравнение упрощается и принимает вид:

аУ 2я

S 5. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК

Результаты опытного измерения величин никогда не бывают вполне точными, а всегда имеют некоторые погрешности. Эти погрешности или ошибки опыта вызваны причинами, определенным образом изменяющими результаты измерения, хотя бы и по неизвестному нам закону. Такими причинами могут быть, например, неисправность прибора, внешние условия опыта, искажающие его результаты, и т. п. Ошибки, возникающие по этим причинам, называются систематическими ошибками и могут быть учтены или даже в достаточной мере устранены.

Ошибки, имеющие место в результате большого количества разных случайных, не поддающихся учету причин, называются случайными ошибками.

Пользуясь закономерностями, характерными для больших совокупностей случайных величин, можно в среднем учесть погрешность опыта, вносимую случайными причинами, и степень точности результата опыта.

Допустим, что при измерении величины А, повторенном н раз, получен ряд значений

«1, "2, ? • ?• ап

случайные ошибки которых соответственно равны ii, *а, . . ., х„

Очевидно

A=ai — Xi\ А — аг — хг; . . . А = ап—х„ (13)

Установим аналитическое выражение для закона распределения случайных ошибок измерений. Обозначим через dp вероятность того, что ошибка измерения заключена между х и х -f- dx:

dp = q>(x)dx

Примем, что эта вероятность должна удовлетворять следующим условиям:

1) она должна убывать при возрастании абсолютной величины числа х, так как большие ошибки менее вероятны, чем малые;

2) она должна быть четной функцией от х, так как ошибки, одинаковые по абсолютной величине и имеющие противоположные знаки, равновероятны;

3) при всех значениях х она должна быть положительной;

40*

627

4) хотя, теоретически, возможны ошибки, имеющее хколь угодно большую абсолютную величину, но практически ошибки, которые можно совершить при измерении, не превосходят некоторого предела хм. Следовательно, искомая функция должна практически обращаться в нуль при | х | > хм;

5) так как появление ошибки, заключенной между —Хм и -\-хм, является событием достоверным, то сумма всех вероятностей, соответствующих этому промежутку, должна быть равна 1. Если на оси абсцисс откладывать величину ошибки х с учетом ее знака, а на оси ординат — значение функции <р (х), то на плоскости получим кривую, обладающую свойствами:

1) при отрицательных х она возрастает, а при положительных х убывает;

0,3 1,0 Рис. XXI-3.

2) она симметрична относительно оси ординат;

3) расположена выше оси абсцисс;

4) при | х | > Хц она практически совпадает с осью абсцисс. Вероятность совершить ошибку, заключенную между х и х л- dx,

геометрически равна площади, ограниченной этой кривой, осью абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках с абсциссами х и х -f- dx. Так как появление ошибки, заключенной между —хы и хи, является событием достоверным, то

5) площадь кривой, заключенной между х — хк и х — —ха,

равна 1.

Всем этим требованиям, кроме четвертого, удовлетворяет функция Гаусса, определяющая закон нормального распределения:

Р(*) =

Однако при достаточно больших значениях \х\ эта функция практически равна нулю.

Опыт показал, что случайные ошибки измеренгя действительно-подчиняются нормальному закону распределения.

Выясним физический смысл параметра А. Этот параметр характеризует точность измерений, так как от него зависит характер группировки ошибок вблизи нуля. Действительно, сопоставляя кривые (рис. XXI-3) при А = 1, А = 2, А = 3, можно видеть, что вероятность ошибки, заключенной между —dx и -\-dx при А = 2 вдвое,, а при А = 3 втрое больше, чем при наблюдениях, характеризующихся коэффициентом А = 1. По этой причине коэффициент А называется мерой точности.

Пользуясь нормальным законом распределения ошибок, можно ответить на ряд вопросов, возникающих в измерительной практике.

§ 6. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ значение ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть при измерении некоторой величины, неизвестное истинное-значение которой есть х, получен следующий ряд значений: *i, z2,. . ., хп

Тогда ошибки этих значений соответственно равны: х—Xi, х—ага, . . ., х — хп

Предполагая, что ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, найдем, какое значение для неизвестной измеряемой величины будет наивероятнейшим.

Вероятность того, что ошибка намерения будет заключена между х — X/ а х — xt + dx, окажется равной:

h

е-"* (*-*,?)' d

страница 165
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
гироскутер iq
номер дома и название с подсветкой улицы купить в спб
кровать аккорд орматек
вафельница для газовых плит

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(21.07.2017)