химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

рдинатами, проведенными в точках х = хх и х = х% (рис. XXI-2).

Это непосредственно следует из того, что произведение ф (ж) dx выражает вероятность Р (ж <; X < х + dx) и в то же время приближенно выражает площадь между кривой распределения, осью абсцисс и ординатами в точках ж и ж -f- dx.

Отсюда следует, что если нам известна плотность распределения Ф (ж) случайной величины, то вероятность того, что значения, принимаемые этой величиной, будут заключены в промежутке между xL и ж2, равна следующему интегралу:

х,

Р{Х! < X < *s)=Jip i.x)dx

Для всякой кривой распределения должно быть

со

|<р (х) dx= 1СО

так как этот интеграл выражает вероятность того, что величина х примет любое числовое значение между —сю и -f-сю, т. е. вероятность достоверного события.

Знание плотности распределения ф (ж) позволяет нам определить математическое ожидание непрерывной случайной величины

622

В23

следующим образом. Пусть распределение случайной величины х характеризуется плотностью распределения ф (х). Разделим отрезок аЪ изменения х, на котором определена эта функция, на элементарные отрезки длины Да; (рис. XXI-2). На основании определения Ф (х) вероятность того, что случайная величина х примет какие-либо значения из отрезка (х, х -f Да:), равна ф (х) Дг. Следовательно, приближенно математическое ожидание будет равно:

М (х) 2 ХЧ (Х) &Х

X

Если устремить промежутки Дг к нулю, то сумма обратится в пределе в интеграл, и мы найдем, что

ь

М (х) = J юр (х) dx (11)

о

где Ф (х) — плотность вероятности случайной величины.

Математическое ожидание представляет собой то постоянное для данных условий число, около которого будут колебаться средние арифметические, подсчитанные по результатам многочисленных наблюдений. Так, например, при вполне устойчивом технологическом процессе математическим ожиданием действительного качества продукта будет то качество, на которое этот продукт рассчитан.

Известно, что качество продукта в отдельных партиях при этом будет различным. Но если взять большое число проб из некоторого числа п образцов, то окажется, что: 1) средние арифметические значения, характеризующие качество продукта, подсчитанные по этим пробам, колеблются около постоянного числа М (х), являющегося математическим ожиданием качества продукта, и 2) с увеличением числа п образцов в пробе средняя арифметическая приближается к математическому ожиданию, т. е. случайные колебания как бы затухают при увеличении числа наблюдений.

Пример. При сушке продукта в сушильном аппарате берется проба из 10 образцов. Вероятности получения в пробе образцов, выходящих по содержанию влаги из контрольной зоны с границами

± -~6 (6 — допуск) от середины допуска (назовем такие образцы

«внезональными») даны в табл. XXI-4.

Математическое ожидание числа внезональных образцов будет равно:

М (г) = 0,24 • 0 + 0,38 • 1 + 0,26 ? 2 + 0,10 ? 3 + 0,02 ? 4 = 1,28 шт.

Пусть пробы по 10 штук отбирались по 10 раз в день при двухсменной работе, т.е. примерно через каждые 1,5ч. Аппарат был отрегулирован на середину допуска. Были получены по дням следующие распределения проб (табл. XXI-5), по числу «внезональных» образцов за 5 дней работы аппарата.

ТАБЛИЦА XXI-5

Число «внезональных» образцов в пробе

Среднее

Число число

Дпи работы 0 1 2 3 4 5 е 7 8 9 10 проб «внезоаппарата за нальных»

- день образцов

Число проб, имеющих данное число в пробе

«внезональных» образцов

1 2 3 3 1 1 10 1.6

2 1 5 2 2 10 1.5

3 2 4 2 1 1 10 1,5

4 3 4 2 1 10 1,1

5 3 4 3 10 1,0

Сумма за 5

дней . . . 11 20 12 5 2 50 1,34

В последней графе помещены средние числа «внезональных» образцов за каждый день работы аппарата. Эти средние колеблются около математического ожидания. Однако средняя за все пять дней работы аппарата (1,34) ближе к математическому ожиданию, чем средние за отдельные дни.

Пример. Пусть непрерывная случайная величина х распределена равномерно в пределах от а до Ъ. Тогда ф (х) постоянна и равна

ми= • Ldx= • r4T_-SI±

' Ь — a J b — a L 2 Jo 2

а

Этот результат можно было предвидеть сразу.

§ 4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Если плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид

? я

то говорят, что случайная величина распределена нормально.

40 Заказ 1706

625

Кривую распределения (см. рис. XXI-4)

называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса.

Нормальный закон распределения имеет чрезвычайно широкое распространение в природе, так "как это предельный закон, к которому приближаются многие другие законы распределения при определенных условиях. А. М. Ляпунов показал, что если случайную величину можно рассматривать как результат суммарного воздействия многих независимых факторов, то закон распределения такой случайной величины будет близок к нормальному.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения. Математическ

страница 164
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
ремонт двери ваз 2114 вмятина цена
wh 520 купить
футбольная экипировка ульяновск
этажерка для обуви в прихожую

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(20.10.2017)