химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

енная средняя гармоническая плотностей минералов. Если бы руда содержала равные массовые

100 „„

доли минералов, т. е. если пг — ла = п, = —, то 3

d 3 V di ' йгт daJ

В этом частном случае средней плотностью руды явилась бы средняя гармоническая простая. Если бы содержание минералов в руде было дано не в массовых, а в объемных долях, то средняя

620

плотность руды равнялась бы средней взвешенной арифметической плотности отдельных минералов, причем «весом» служили бы объемные доли минералов.

{ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим вопрос о значениях, которые может принимать некоторая величина х в зависимости от случайных, т. е. не поддающихся учету причин. При этом каждое значение х,, полученное в результате единичного испытания, является случайной величиной, вероятность появления которой р,. Зависимость между значением случайной величины и ее вероятностью называется распределением этой величины.

Допустим, что при большом количестве N испытаний дискретная величина х принимает значения хи хг, . . ., хп соответственно mlt mti • • •> тп Р*з. Тогда среднее значение х равно: m-1xl + mix2+ . ? . + тпх„ тх тъ тп

* ц •=-jf1+-]r'1+ ???+-jrXn

Когда N велико, относительные частоты ..., приближенно равны вероятностям рг, рг, . . рп появления эначений хг , хг, . . ., хп (см. § 1 гл. XX). Поэтому при большом числе испытаний среднее значение х мало отличается от

Pix1+p2xi+ . . . +Рпх„=21р!х,

Величина iPtxi называется вероятным значением случайной величины х или ее математическим ожиданием и обозначается М (х):

М (х) = 2 Pj*t

Таким образом, математическое ожидание М (х) является теоретической величиной, к которой приближается среднее значение х случайной величины х при большом числе испытаний.

Приведем без доказательств некоторые свойства математического ожидания.

Очевидно, что если случайная величина постоянна (х = А), то математическое ожидание равно ей самой:

М(А)=А

Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянный множитель равно произведению математического ожидания случайной величины на этот множитель:

М(Ах) = АМ{х)

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(х+у+ . . . +1) = М{х) + Щц)+ . . . +М{г)

621

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (xyz) = м (х)М (у) м (z)

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания М (ж) называется дисперсией величины х и обозначается а8:

а2 = М [х-М (х)]*

Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах. Она является мерой рассеяния значений х около их математического ожидания. Пользуясь приведенными выше свойствами математического ожидания, нетрудно показать, что дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата ее математического ожидания, т. е.

Если появление некоторого события в каждом испытании имеет вероятность р, то математическое ожидание частоты т этого события при л испытаниях равно:

М{т) = пр (10)

Из (9) и (10) следует, что дисперсия частоты:

0*=пр(1 — р)

Для редких событий, т. е. для малых* р, величиной ра можно пренебречь, и

а* = пр

Для бесповторной выборки дисперсия частоты: о" = гср(1-Р) N

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратическим отклонением или стандартом.

о= + У~М {х*) — М*(х)

§ 3. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КРИВАЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Приведенные выше формулы для средних значений случайной величины, ее математического ожидания и дисперсии относились к случаю, когда случайная величина дискретна и число возможных ее значений конечно. Если же случайная величина непрерывна, то множество значений, которые она может принимать, бесконечно; вероятность каждого отдельного значения такой величины равна нулю.

Для определения понятий математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины нужно ввести новое понятие — плотности распределения.

Обозначим через X некоторую непрерывную случайную величину, которая может принимать любые числовые значения из промежутка (а, Ъ).

Пусть х есть некоторое число из этого промежутка. Определим вероятность dP того, что величина X принимает значения, заключенные между х и х 4. dx. Эта вероятность, очевидно, пропорциональна dx (при бесконечно малом dx) и зависит от х. Поэтому положим:

Функция ф (ж) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X, произведение ср (ж) dx — элементом вероятности. Кривая у = <р (х) называется кривой распределения вероятностей данной случайной величины.

Важнейшее свойство этой кривой

состоит в следующем: вероятность |

того, что случайная величина приР№ YVT О

мет значение, принадлежащее про- ЛЛ1

межутку (жх; хг), равна площади,

ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и двумя о

страница 163
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
стол кухонный орфей 10
мебельная фурнитура латунь бронза
Консервный нож, красный
Lodge AS6S21

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.07.2017)