химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

, после чего получим формулу (15).

Пример. Вероятность изготовления нестандартного продукт» в некотором производстве равна 0,004. Найти вероятность того, что-в партии из 1000 единиц окажется пять нестандартных.

Имеем: пр = 1000-0,004 = 4, а т = 5.

Подставляя эти значения при т в формулу (14), найдем Рй; хт> =?? = 0,1563.

§ 4. ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА И ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При больших значениях пат формула (10) приводит к чрезмерно громоздким вычислениям. В этих случаях для вычисления Рп удобнее пользоваться следующей приближенной формулой, выводимой в полных курсах теории вероятностей:

%Щ \ П ~р1

V~2sinpq

(16>

Т

59Т

где

2Р9

Для быстрого, вычисления значения Рт служит таблица функОпределенный интеграл в последней формуле зависит от своего верхнего предела hr. Обозначим его Ф (х):

(17)

ции

через которую вероятность Рт выражается следующим образом:

Таблица функции ср приведена в конце книги в приложении IV.

Пользуясь формулой (16), можно решить и более сложный вопрос о нахождении вероятности того, что частота наступления события будет заключаться в намеченных пределах m,sgmsЈmft.

По теореме сложения вероятностей, вероятность того, что событие произойдет или тг, или т3, . . ., или тк раз, равна:

(а)

Заменяя Pmi, Рт„ ... их значениями по формуле (16) и выполнив вычисления, можно найти искомую вероятность.

Для практических приложений представляет интерес задача о нахождении вероятности того, что частота наступления события будет отличаться от вероятности втого события в ту или другую сторону не более чем на заданную величину. Опираясь на формулу (16), можно доказать весьма важную в теоретическом и практическом отношениях теорему Лапласа.

Вероятность, что при большом числе предстоящих испытаний

отклонение частоты события — от известной его вероятности р не

в

превзойдет по абсолютному значению некоторой величины г, т. е. вероятность неравенства

приближенно равна:

Р(\ -Р

где

Функцию Ф (х) называют функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Таблица значений этой функции приведена в конце книги в приложении V.

(18)

г)

При помощи функции Лапласа искомая вероятность выражается следующим обравом:

'(|тЧ<')"ф'*

Теорему Лапласа используют при решении следующей практически важной задачи.

Пусть известно, что вероятность наступления некоторого события при отдельном испытании равна р. Сколько испытаний нужно произвести для того, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что уклонение частоты наступления события —

от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некоторого заданного числа г? Условимся считать событие практически достоверным, если его вероятность не меньше 0,99. Мы имеем!

Ф {hr) =0,99

Пользуясь таблицей значений интеграла (17), данной в Приложении V, находим:

Аг = 1,82

Уклонение частоты от вероятности по условию задачи должно быть не больше г; следовательно

Р -~- г'< - р & —г

п с Л V

Отсюда находим, что

пр—пт m пр+лг 1 82

врТак как Аг = 1,82, то г = —'—• подставляя это значение г в полученное выше неравенство, найдем, что число m наступлений события при п испытаниях с практической достоверностью будет заключаться в следующих границах:

1,82 . , 1,82 вр-t-698

599

Если в этой формуле заменить h его значением, то мы получим, что т будет заключено в следующих границах: известно число испытаний п и число т случаев, когда событие наблюдалось:

пр—2,58 VNP(I — р) s;m=S«p + 2,58Knp(l — р) (19)

Пример. Опытным путем установлено, что при этоксилировавии и-нитрохлорбензола на производстве одна из каждых двадцати .серий может дать недоброкачественный л-нитрофенетол. Сколько серий следует предусмотреть в проекте, чтобы 500 из них оказались удачными и тем самым проектная мощность доброкачественного продукта была бы обеспечена?

В данной задаче вероятность р доброкачественности данной 19

серии равна Число доброкачественных серий равно 500; число

500 =

П серий, предусматриваемых проектом, неизвестно. На основании формулы (19) найдем, что л должно удовлетворять неравенству:

ii 20 '

• т)

2,58

(21)

р*5-+

. 2,58 ЛГТ (я—Т) П У П

Формула (21) — приближенная и дает хороший результат лишь в том случае, когда л велико и отношение — не очень близко к нулю или единице.

Пример. При 62 сериях синтеза 8-оксихииолина по методу Скра-упа произошли три взрыва. Дать с вероятностью 0,99 заключение о вероятности этого события.

Задача решается по формуле (21):

J 2,58 1/НГ59"" 3 ,2,58 -IF 3,59

62 62 V 62 "~- Р"~- 62 "|" 62 V 62

: 0,12

62 -0,02

Определяя отсюда л, найдем:

п = 540

Следовательно, для того, чтобы с практической достоверностью {т. е. с вероятностью, не меньшей 0,99) быть уверенным, что 500 серий будут доброкачественными, в проекте нужно предусмотреть 540 серий.

До сих пор речь шла о предстоящих испытаниях при известной вероятности события р. Однако справедлива и обратная теорема Лапласа, позволяющая оценить неизвестную вероятность события на основании ряда произведенных наблюд

страница 156
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Компания Ренессанс: лестницы купить интернет магазин - цена ниже, качество выше!
Столовые сервизы Emily купить
табличка открывать на себя
сетка сварная оцинкованная гост 8478 81

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(28.06.2017)