химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

дем по формуле (9):

в— 6! 610! / 3 у 729 \ 4 / 4096 *»0,18

Р5,в=- 6! 5! 1! ?(4УФ- 1458 «0 46 4096" °'36

Pi,e= 61 4121

Рз,в = 6! 313!

61 214!

Pl,»= 61 1!5! ?(*)(*)-

Ро,в = 6! 016! / 1 у 1

\ 4 ) 4096 0,0002

Мы видим, что вероятность Р0,, не иметь нормального расхода воды ни в один из шести дней, или, что то же, каждый день из шести иметь перерасход воды, практически равна нулю. Вероятность перерасхода воды в течение пяти или шести дней (Ре+РЦ, в) также практически равна нулю. Наиболее вероятным будет перерасход воды в течение одного дня из шести:

Рь, в = 0,36

593

Пример. Длительной проверкой качества стандартных ампул с жидкостью установлено, что из каждой сотни не имеют дефектов

Закаэ 1706

729 4096

РЕ. Е Рь.в Р4.Е Р3,Б Р2,Е

Pi.,-75 штук. Составить биноминальное распределение вероятностей пригодности для взятых наудачу 6 ампул. Имеем:

= 0,1779

?(4У1458 ' 4096 "

= 0,3558(ШУ=Л-.P«-'=(IY-4ise-aoa02

Эти результаты показывают, что наиболее вероятным оказывается наличие пяти пригодных ампул из шести и что практически можно рассчитывать на пригодность не менее трех ампул, поскольку

Р (т>2) = 0,963

Графическое представление этого распределения дано на рис. ХХ-2.

Биноминальное распределение, как мы видели, позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. В предыдущем примере таким числом оказалось 5.

Покажем, что отыскание такого числа может быть выполнено непосредственно без составления полного биноминального распределения.

Р»,-1 = РТЛ'

Определим максимальное значение в формуле(Э) вероятности Рт „, которую условимся обозначать Рт. Для зтой цели подставим в эту формулу q вместо 1 —; i найдем Рт_г и Pji

в|

(IB—1)1 (В —«1 + 1)1

в!

(ш+1)1 (в —и—1)1 Если значение Рт максимальное, то

РТ*1<РТ> Г M-L

594

(11)>1>1

РЩ~1 РТ+1 '

в — то + 1 р т q

(12)

Произведя деления и сокращения, получим:

">1

РТ РЩ-1

т+Л

Из (11) следует!

или

но

Следовательно

Pmtl п—т р (в —rn + 1) p>mg (n+1) p>m (p + q) P + 9 = l m

(?n+i)«Ss(« — т)р

или

т 5г вр — q

Таким образом, наибольшая вероятность получится, если т заключено между числами пр — q и пр + р;

вр —«<т<вр + р

Разделим все члены этого неравенства на ш

Числа р и q оба меньше единицы, число же п больше единицы, а при большем п величины ~ и представляют собою малые правильные дроби. Таким образом, мы видим, что для того т, при котором Рп наибольшее, отношение -2- весьма близко к р.

Так как — есть частота появления события при п испытаниях,

то полученный результат можно сформулировать так! при большом

числе п испытаний частота появления события — весьма близка

п

к его вероятности! --<=»р. Это свойство частости носит название

«закона больших чисел».

Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных изделий показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных изделий в партии из 50 штук.

38* 595

Обозначая вероятность выпуска исправного изделия через р, будем иметь q = 0,075 и р = 1 — q = 0,925. Так как здесь и = 50, то искомое число можно найти из неравенства (13): 50-0,925 — — 0,075 *S т SS50 -0,925 + 0,925 или

46,175 =g т ss 47,175

Отсюда наивероятнейшее число исправных изделий равно 47.

§ 3. РЕДКИЕ СОБЫТИЯ (формула Пуассова)

Если р обозначает очень малую вероятность того, что событие произойдет при каком-либо испытании, то вероятность Ртп, что оно случится т раз при очень большом числе испытаний п, приближенно равна:

(ПВ\Т

(14)

» ("Р)т

Обозначим: Я = пр; тогда р = —. Поэтому в соответствии с формулой (10) искомая вероятность равна:

в (в — 1) (11—2) ? ? . (в — m+1) 1 / bN"/, J. \-™

ml TPS"1И-'«7 I1") =

Ьт в(в-1) (в-2) ? . ? (в-т+1) I. Я,\"Л Л V™

= ЯН ?—L1--; 1-Т; =

Ят в—1 | в —2 в —т+1 / Ъ-Х(,—Ь\Т

= т| ' в " в ' 1 " П \ П J \ П )

Поскольку "~* = 1—то для Рт>п получаем такое выражение:

'-?-{)('Ч)-«-)('ЧН'7±Г

С заметно отличными от нуля вероятностями можно ожидать только случаи, соответствующие небольшому числу т наступлений события в п испытаниях. Поэтому т будем считать конечным и небольшим.

Поскольку, кроме того, п велико, то множители 1 —i-,

1 —, . . . , 1 — m — i можно приближенно считать равными единице.

Так как ~—р близко к нулю, то выражение (l— приближенно также можно считать равным единице. Поэтому

04)"

Тогда

(пр)т

Пример. Зерна порошка в количестве N штук рассыпаны в беспорядке на поверхности, имеющей S единиц площади. Показать, что вероятность нахождения т зерен порошка иа поверхности площадь» в а единиц равна:

8

(15)

ЦТ

ML

Вероятность того, что поверхность площадью dS содержит одно-зерно, равна — р. Если выбранная поверхность содержит а

единиц площади, то мы можем предположить, что каждая площадка dS есть испытание и, следовательно, число таких испытаний. а

СОСТАВИТ ЗТГ = п. ДО

Таким образом, вместо пр в формулу (14) мы должны подставить j-

страница 155
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
Bodum Chambord
курсы повышения квалификации для делопроизводителей
микроавтобус 8 мест
как снять личинку с магнитного межкомнатного замка?

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(09.12.2016)