химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

ующих наступлению обоих событий, составляет тт из n1rt2 возможных.

Отсюда находим, что вероятность появления обоих событий равна:

?(J,I!)==B.3=P(.P(FI) Т

590

Теорему умножения, очевидно, можно применить и к сложному событию, состоящему из совмещения трех или более событий.

Таким образом, вероятность повторения событий к раз при к испытаниях равна fe-й степени вероятности событий при условии, что вероятность события р не меняется при испытаниях.

ПРИМЕР. Для трех аппаратов вероятность остановки на протяжении 1 ч составляет: для I аппарата 0,2, для II — 0,15 и для III — 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трех аппаратов на протяжении 1 ч.

Здесь бесперебойность работы аппарата — событие, противоположное работе с остановкой. Поэтому вероятности бесперебойной работы для отдельных аппаратов составят:

Р! = 0,8; Р„ = 0,85 и Рш = 0,88

Так как работа каждого аппарата не зависит от работы других аппаратов, то, применяя теорему умножения, найдем:

Л. П, „| = 0,8-0,85-0,88 = 0,5984

ПРИМЕР. Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет для I — 0,75, а для II — 0,8. Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно работать на протяжении 3 ч?

Вероятность бесперебойной работы каждого аппарата на протяжении 3 ч, соответственно, определяется по теореме умножения:

Р, = 0,75 ? 0,75 • 0,75 = 0,422

Р„ = 0,8-0,8-0,8 = 0,512

Вероятность бесперебойной работы обоих аппаратов на протяжении 3 ч определяется снова по теореме умножения:

Р (I и II) = 0,422-0,512 0,216

VI. ЕСЛИ Р ОБОЗНАЧАЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ появления СОБЫТИЯ ПРИ КАКОМ-ЛИБО ИСПЫТАНИИ, ТО ВЕРОЯТНОСТЬ РТ,„ ТОГО, ЧТО ОНО ПОЯВИТСЯ т РАЗ ПРИ п ИСПЫТАНИЯХ, ВЫРАЖАЕТСЯ ФОРМУЛОЙ:

Pm,«=-CDra(l-*>)""""1 (8)

или

р _ = — Рт (I — Р)"-т ™

""Л ML (В —Ш)1 1 ' (А>

Вероятность того, что событие не совершится при одиночном испытании, равна 1 — Р. Вероятность, что оно не совершится ни разу при п испытаниях, равна (1 — Р)п.

Вероятность того, что событие случится подряд при первых пг испытаниях, а после этого при остальных п — т испытаниях вовсе не произойдет, равна

рт Q jpjn-m

591

Последнее выражение есть также вероятность того, что событие произойдет т pas и не совершится п — т раз и при другом порядке появления и непоявления событий.

В соответствии с теоремой сложения вероятностей имеем:

Рт,п = Рт (1— Р)п~т + Рт (1 — Р)«-т+ . . . +pi»(l_p)«-m

Число слагаемых в правой части этого равенства, согласно теории соединений, равно числу сочетаний из п элементов по т. Следовательно, вероятность того, что событие совершится т раз при в испытаниях и не совершится га — т раз, будет равна:

P„.„=Bl"-1)-?m,("-m + 1)P"(1-P) (10)

Этой формулой можно пользоваться и при т = п и при т = О, условившись под символом 0! понимать 1.

Правая часть формулы (8) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Поэтому, если мы будем придавать числу т появлений события А значения га, п — 1, га — 2, . . ., 3, 2, 1, О, то получим соответствующие выражения вероятностей:

Рп.п = Рп вероятность появления событии А во всех испытаниях;

Pn-i. а = «Рл-1д . . . вероятность появления события А во всех п испытаниях, кроме одного; здесь q = i— Р;

Р& л = СпР*Чп'г ? ? ? вероятность появления события А в двух испытаниях;

Pl,n = nPa"x .... вероятность появления событии А водном испытании;

Po,n — Qn вероятность непоявления события Л ни в одном испытании.Лри га независимых испытаниях достоверно появление события А либо га, либо п — 1, . . ., либо 2, либо 1 раз, либо ни разу, а это означает, что

Рп,п+Рп-1,п + Рп-г,п+ ? ? • +P2,n-r-Pi.n+Po, *=1

Таким образом, известная формула разложения бинома Ньютона

(P + q)" = Pn + np"-lq + C%pn-!>-q'*+ . . . +C%p*qn-*+npq"-l + qn

дает распределение вероятностей между всеми единственно возможными и несовместимыми результатами проведения п независимых испытаний на появление события А.

Биноминальное распределение вероятностей позволяет определить не только вероятность появления интересующего нас события заданное число раз при га независимых испытаниях, но также и вероятность того, что число т случаев появления этого события заключено в заданных границах между числами т, и т,.

Покажем это на ряде примеров.

Пример. Появление колонии микроорганизмов данного сорта в определенных условиях оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность, что из 5 случаев эта колония микроорганизмов появится не меньше 4 pas?

592

Имеем:

п = 5, Р= — и q — — • т4, т. е. принимает значение 4 или 5.

5 5 '

Искомая вероятность:

P(mSs4} = P (или 4 или 5) = Р4, 6 + ,5 = 5 (-|)'-J+ (4) ="(*)4+(*)'-1?-™

Пример. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не больше определенного числа литров в сутки), равна Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход воды будет нормальным в течение 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 суток.

Обозначив через Рт,, вероятность того, что в течение то суток из шести расход воды будет нормальным, и полагая Р = —, най

страница 154
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
наладчик холодильного оборудования обучение в колледже
yileiqi часы
курсы косметологии в щелково
уличные ограждения для пешеходов

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(04.12.2016)