химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

пренебрежимо малую величину. Поэтому для вычислений можно пользоваться упрощенным уравнением

Г = 12,76 + 80,24г-||'и14т (IV)

На рис. П-З изображен график зависимости Т от т, построенный по уравнению (IV); через 120 ч температура жидкости в баке достигнет Т = 34,0° С.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Рассмотренная в начале этой главы задача о вычислении времени, в течение которого движущаяся точка проходит определенный участок пути, привела нас к необходимости вычислить предел некоторой

суммы при бесконечно возрастающем числе слагаемых. Такие пределы сумм очень часто встречаются при решении многих технических задач. Они приводят нас к определенным интегралам. Рассмотрим ближе структуру определенного интеграла.

Пусть при A =s Х b нам задана непрерывная функция У = / (Х). Найдем площадь, ограниченную кривой У = / (Х), осью абсцисс и двумя ординатами Х = А и Х = Ъ.

Для этого разделим отрезок оси ОХ от А до Ь на П равных мелких участков (рис. 11—4); длину каждого из этих участков обозначим АХ; построим ординаты в полученных точках деления. Тогда вычисляемая площадь представит сумму площадей криволинейных трапеций, основания которых — ординаты точек деления, а все высоты равны АХ. Каждую из этих трапеций заменим прямоугольником, построенным на основании Да: с высотой, равной ординате, соответствующей произвольной точке промежутка АХ. (На чертеже эти ординаты обозначены пунктиром.) Если абсциссы точек, в которых мы строим ординаты, равны ХИ ХГ, . . ., ХП, то высоты этих прямоугольников будут соответственно равны

/4*1). / (*i) ,/(*/.)

Сумма площадей всех прямоугольников, которой мы приближенно заменяем всю вычисляемую нами площадь, будет равна

i-1

Погрешность, которую мы при этом делаем, будет тем меньше, чем меньше АХ, т. е. чем больше ыы возьмем число частичных промежутков. Естественно ожидать, что при безграничном возрастании П (числа промежутков) эта сумма будет стремиться к пределу, который будет равен площади, ограниченной кривой У = / (г), осью абсцисс и ординатами в точках t = в 11 = J. В курсах интегрального исчисления доказывается, что при весьма широких предположениях о функции / (ж) (и во всяком случае для всех непрерывных

п

функций) выражение 2 / (ХД &Х стремится к определенному пределу i-1

при л-»-оо. Предел этот и называется определенным интегралом функции / (ж) в пределах от А до 6:

4 п

$F(X)DX = lim JJWii (41)

а " * °° l-i

С геометрической точки зрения интеграл выражает собою площадь, ограниченную кривой У = F (Х), осью ОХ и двумя ординатами Х — А и Х — Ь.

% 10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ

К вычислению определенных интегралов приводит всякая геометрическая и техническая задача, связанная с необходимостью вычислять предел суммы бесконечно большого числа бесконечно-малых слагаемых.

Однако непосредственное вы-чиглепие определенного интеграла, основанное на его определении (41) как предела суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, обычно бывает весьма затруднительным. Поэтому для вычисления определенного интеграла применяют другой метод, оспованный на зависимости, которая связывает пеопр еде ленный и определенный интегралы.

X

Определенный интеграл J F (Х) DX выражает собою переменную а

площадь ABCD, зависящую от Х (рис. II-5). Положим:

х

а

Найдем производную -р- - Вспоминая процесс построения производной, образуем AJ; очевидно, AJ представляет площадь DCFE

х+Ьх

И выражается интегралом J F(X)DX. Будем для определенности

X

Считать функцию / (Х) возрастающей. Тогда

55Площадь DCKE < площадь DCFE < площадь DMFE

или

f(x) Ах < AJ < /(ж+Дг) Ах Деля на Дж, имеем:

/(*)< -~•откуда заключаем, что -=1{Х)Вспоминая определение неопределенного интеграла, мы видим, что J(х), т. е. определенный интеграл

X

J / (ж) йж а

представляет собою одну из первообразных от f(x)\

X

J f(x)dx = F (х) + С а

Остается только определить значение постоянной С. Заметим, что если ж==а, то левая часть этого равенства обращается в нуль, так как площадь ADCB в этом случае вырождается в прямую АВ.

Следовательно

0 = -F(a) + C, т. е. С = — F (а)

Отсюда

X

J" f(x)dx = F(x)-F (а) а

Так как х здесь может принимать любое значение между о и Ь, то, полагая х = Ь, найдем:

(42)

Это — основная формула интегрального исчисления. Она сводит вычисление определенного интеграла к нахождению интеграла неопределенного.

Определенный интеграл равен разности значений первообразной функции при верхнем и при нижнем пределах интегрирования.

Можно показать, что сделанное выше предположение о том, что / (ж) — возрастающая функция, — несущественно.

Чтобы показать практическое приложение этих выводов, решим задачу, которую уже раньше решили при помощи неопределенных интегралов, приводя их к определенным:

= к (а — х)

56

dx

Отсюда!

йх =

к (а — х)

Если значениям xt и хг соответствуют значения %х и т2, то, согласно последним выводам, можно написать:

т2 T! — j

страница 15
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(22.02.2017)