химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

температура / (г) является функцией только г. Допустим, что поверхность цилиндра быстро охлаждается до температуры t0 и для любого последующего момента времени температура распределяется симметрично вокруг оси цилиндра. В этом случае

d4 Йф2 :

_З<_ AT ;

(64)

и следовательно

I d4 1 dt \ \ дг* г ' дг )

С целью упрощения граничных условий без изменения дифференциального уравнения, обозначим, как и раньше, t— t„ через g. Когда t уменьшается с течением времени от сх до t0, § изменяется в пределах от / (г) до 0.

(65) (66) (67)

Таким образом, начальными и граничными условиями будут!

Е = /(г) при т = 0 ? = 0 при т ~ оо 1 = 0 при r = R

Будем решать уравнение (64) тем же методом, каким мы решали уравнение теплопроводности в случае бесконечной пластины.

Примем ? = UF, где V является функцией только г, a F — функцией только т. Уравнение (64) при этом преобразуется так:

dF I „ d*U . F dU \

dF dx

d4J dr*

dU dr

1

aF

u-dT=aVnw+—-4r)

+77Г

Левая часть этого уравнения не зависит от г; правая часть не зависит от т; следовательно, каждая из них равна одной и той же постоянной — №.

470

Мы приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

dF

— + *W = 0 dr* 1 r dr 1

Первое из этих уравнений имеет следующий общий интеграл: F = Схе'к""

Второе уравнение после умножения на г2 приводится к уравнению:

Это есть уравнение Бесселя (см. гл. XVI). Его решением является функция /0 (кг). Таким образом, определяемая нами функция § имеет следующий вид:

1 = 0 „(кг) (68)

Найденная нами функция ? удовлетворяет не только дифференциальному уравнению (64), но также и условию (66). Она будет

также удовлетворять и условию (67), если мы выберем к так, чтобы

У0(*Л)=0 (69)

В теории функций Бесселя доказывается, что уравнение J„ (х) = = 0 имеет бесчисленное множество корней. Значения этих корней можно найти из таблиц бесселевых функций.

Уравнение (69) определяет, таким образом, бесчисленное множество значений к:

кх, з, • ? •

Подставляя эти значения к в (68), получим бесчисленное множество решений исходного уравнения (64), каждое из которых будет удовлетворять условиям (66) и (67). Так как уравнение (64) линейное, то сумма этих решений, умноженных на произвольные постоянные, также будет решением. Мы пришли, таким образом, к следующему решению:

?=2 4,е -klmJo (кпг) (70)

п=1

Нам остается только удовлетворить условию (65). Подставляя в (70) х = 0, получим:

/ (г) = AiJ0 (ftir) + A2JB (*2г) + Д.,/,, (к3г) +. . . (71)

Коэффициенты Ап могут быть найдены путем сравнения этого ряда с рядом, образованным в результате разложения функции / (г)

471

в ряд по бесселевым функциям. В теории функций Бесселя доказывается, что разложение это имеет следующий вид;

гс=1 О

где Л — радиус цилиндра.

Сравнивая (71) и (72), определим А„, подставляя которые в (70), получим:

П=1 О

Чтобы применять эту формулу к решению задач, необходимо иметь таблицы для функций J0 (х) и Jt (х), а также таблицы корней функции /0 (ж).

I

В простейшем случае, когда / (г) = 1, интеграл, стоящий в правой части формулы (73), имеет следующее значение:

rj„ (knr) dr = j— Jt (knR)

• Пусть начальное содержание влаги равно cL и она равномерно распределена в пластине. Граничные и начальные условия будут иметь вид:

с = ci при т = 0 ас

В— =6 при х=0 дх

D-- = —В при x=2R

Продифференцируем уравнение (74) по ж

ТО _ flsc ат дх ~~ аз*

д*р

заменяя Ц- на Р, найдем:

(75)

Дифференциальное уравнение не изменилось по своему виду, но условия теперь будут иные:

(77)

р = 0 при т = 0 (76)

при х — 0

Окончательное решение для случая / (г) = 1 будет: -tL при x=2R

(78)

п—со

где &„Д, как и раньше, есть ге-й положительный корень уравнения 7„ (ЬЛЛ) =0.

§11. СУШКА БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ

Приведенные выше методы решения задач, связанных с теплопроводностью, могут быть использованы при решении некоторых задач, связанных с диффузией.

Для примера рассмотрим распределение влаги в бесконечной пластине, подвергаемой сушке с обеих сторон при постоянной скорости В кг/ч-мг. Как известно, скорость диффузии влаги в твердом теле пропорциональна градиенту влажности. Пусть толщина пластины равна 2Я. Поместим начало координат в любой точке на поверхности пластины, а ось ОХ направим перпендикулярно к этой поверхности.

В теории диффузии доказывается, что если с — влажность материала (в кз воды на 1 м3 объема массы) и D — коэффициент диффузии воды в материале, то

ас _ а*с

(74)

ас _ АЧ ах вх*

472

Уравнение (75) при условиях (76), (77), (78) может быть решено тем же методом, какой мы применяли для решения задач по теплопроводности и диффузии. Мы приведем лишь окончательный ответ. Искомая функция с имеет следующий вид:М-ТЬ-Т»-*-2"]-*2R

я=оо

(79)

где постоянная интегрирования CL представляет собой начальное содержание влаги в пластине. С возрастанием т сумма ряда уменьшается и распределение влагосодержания приближенно характеризуется при достаточно большом т параболической зависимо

страница 122
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
что означает голубой букет
цветные линзы для косплея
юрист по ипотеке москва
камеры хранения в москве стоимость

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(08.12.2016)