химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

вокупность бесчисленного множества интегральных поверхностей. Для того чтобы получить определенное решение уравнения с частными производными, следует использовать дополнительные даяные относительно искомого решения. Эти дополнительные данные в технических задачах обычно определяются физическим смыслом решаемой задачи.

Общих методов для нахождения решений уравнений с частными производными не существует. Лишь для отдельных частных случаев разработаны методы, позволяющие отыскивать решения этих уравнений. Рассмотрим простейшие из этих случаев.

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Р (х, у, и) Q{х, y,u)-=R (х, у, и)

Рассмотрим уравнение

(7)

du

dx

(8)

Для его интегрирования следует решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

dy

Q

После интегрирования уравнения (2) по у найдем:

и = J" h (У) dv + h (х) = /а (у) + /„ (х)

(3)

Функция (3) является решением уравнения (1), независимо от вида функций/3 (у) и/2 (ж), которые являются произвольными.

В то время как общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений содержит произвольные постоянные, решение дифференциальных уравнений с частными производными включает в себя произвольные функции.

450

Пусть интегралы этой системы будут:

(9)

ф (х, у, и) = С1 и тр (*, у, и) = С2 Образуем уравнение:

Ф [ф (*, у, и), тр (х, у, и)] =0

(10)

где Ф — произвольная функция своих аргументов.

451

Функция и, определяемая зависимостью (10), будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (7).

29«

Пример. Рассмотрим уравнение:

ди , ди хи ——\-уи —— дх " ду

Образуем систему:

dy уи

Первое уравнение этой системы

dx

du ху

(11) (12)

Аналогичные формулы имеют место и для прочих граней. Общее количество растворенного вещества, поступающего через три грани параллелепипеда, будет равно

шхс dy dz + WyC dx dz + wzc dx dy

9 общее количество вещества, вышедшего через три противоположные грани, будет:

f/J dx dz-\- и'гс-\- dz~ dy dx

du ху

имеет решение у—Сгх. Подставив это выражение для у во второе уравнение системы

dy уи

Изменение количества вещества, вызванное изменением кон-дентрации с, составит:

C\dx du

и х

Общее решение этого уравнения будет:

Схх* = и* + С2

Таким образом, интегралы системы (12) имеют следующий вид:

- = Сь ху — иг — Сг

Мы получим решение данного уравнения (11), если свящем эти интегралы ироиивольпой зависимостью:

Ф (ху — u2, ?j) =0» или u* = xy+(f где ф—произвольная функция от —.

dx a

— 4+

Подставляя найденные выражения в общее уравнение материального баланса, найдем:

д (и>хс)

(13)

= 0

Рис. XVII-1.

д (wvc) | д (и>гс)

Уравнение материального баланса в дифференциальной форме (13) математически тождественно с уравнением неразрывности, имеющим важное значение в гидродинамике (см. гл. XIX).

§ 3. УРАВНЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Рассмотрим неустановившееся движение несжимаемой жидкости, содержащей растворенное вещество, через какой-либо аппарат. Пусть wx, wy, wz представляют составляющие скорости по осям координат. Обозначим через с концентрацию растворенного вещества (в весовых единицах на единицу объема), а время — через т.

Выделим в аппарате элементарный объем, представленный на рис. XVII-1 в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz. Скорость потока в направлении, указанном стрелкой, будет wx, и количество вещества, поступающего через левую грань, равно wxcdydz. Количество вещества, выходящего из параллелепипеда у противоположной грани, будет:

. § 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассмотрим процесс передачи тепла в неустановившемсн состоянии, когда температура в каждой точке нагреваемого тела меняется со временем.

Обозначим через х, у, z — координаты точки, t — температуру, т—время. Будем считать, что изучаемое нами твердое тело изотропно, так что теплопроводность к, теплоемкость с и плотность у постоянны. Выделим в нашем теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz а с гранями, параллельными координатным плоскостям.

За время dr на нагревание этого элементарного параллелепипеда потребуется количество тепла, равное:

dt

dQ = cy -z— dx dy dz di

452

453

С другой стороны, согласно теории теплопроводности, общее количество тепла, поступающего в параллелепипед через обе грани, перпендикулярные ОХ, будет равно

d*t

X —т dx dy dz dx

ox*

Совершенно так же мы найдем, что через грани, перпендикулярные OY и OZ, в элементарный параллелепипед поступает следующее количество тепла:

d*t

X -jjjjY dx dy dz dX дЧ

X —=- dx dy dz dx

dz1

dx dy dz dx

dQ = X

дх* "1" ду*

Таким образом, за время dx через все грани параллелепипеда поступает количество тепла:

ДАМ

+ dz* J

Приравнивая полученные нами два выражения для dQ, получим следующее уравнение теплопроводности:

Физическое тепло вычисляется относительно произвольно принятой начальной температуры ( = 0.

cyutt 4-cyw dx }

дх

Для того же промежутка времени dx количество тепла, входящего в параллелепипед через п

страница 117
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
дачи по рижскому направлению
фонарь магнитный для автомобилей такси osvar 2302.3738 без рисунка шашечек по почте
привод белимо с возвратной пружиной цена
peugeot мельницы официальный сайт

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(26.04.2017)