химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

еделены раньше с помощью функции /„ (х). Для этих функций имеют место следующие рекуррентные зависимости:

Y„.L(X) + YM (Х) = Ц. Y„{X) /„ (X)

(15)

4.1 (I) = I»_I»/„(J:)

Рекуррентные формулы для Kn (х) имеют следующий вид:

(16)

КП-1 W - AVI (I)=- И

*„-1 (I) + #„+I (I) = -2JC; (I)

(*) = -*! (I)

Подобным же образом можно показать, что / ,. (х) = 1/ —— cos з: 'Г ' T ПХ

Таким образом, при п =— функции Бесселя выражаются через элементарные.

Так как функции Yn (ж) и 1п (х) выражаются через J„ (х), то УЧ, (х) и Л/, (х) также могут быть выражены через элементарные функции.

Подставив в рекуррентную формулу (14) п = — , получим: /.,,

Отсюда

найдем:

J,h (X) = Ljlfi (x)-J_4i (X) = J/-?- (-COS *)

— I4,—I4I+JIL*

Полагая в (14) га откуда

i 7. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ Jn(x), ИНДЕКС КОТОРЫХ РАВЕН ЦЕЛОМУ С ПОЛОВИНОЙ

3 , , л[ 2 / 3 — z« . 3 \

/А/ —— Л, —/I T — V 1 Ъ Sin д: COS X

IT x IT I * F nx \ Z3 X }

(-Ds

Подставив в ряд (3) п = ~, получим:

'./. (*) = 2

Далее, так как и при целом s

i Г(« + 1)Г(«+|

Г> + 1) = «Г(«) Г (s-f l)=sl

то имеем:

, , L'1' I X* X* \

Уп 2

Применяя формулы

41)Аналогично можно показать, что все функции Бесселя, номер которых равен целому числу с половиной, выражаются через элементарные функции.

§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ

В приложениях функций Бесселя к технике часто возникает необходимость разложить произвольно заданную функцию F (х) в ряд по функциям Бесселя.

Существует несколько видов таких разложений; для нас представляет интерес рассмотреть одно из таких разложений.

В теорш; функций Бесселя доказывается, что функция Бесселя /„ (х) имеет бесконечное множество положительных корней. Расположим эти корни в возрастающем порядке и обозначим их alf

В приложениях часто возникает задача о представлении произвольно заданной функции F (х) в ряд следующего вида:

F (х) = СУ„ (агх) + CtJn (a2x) + C3Jn (а„х) + . ..

найдем, что

438

3! т 51

Y

sin X х2 ж*

I 57 I'M • ?

или

F(*) = 26V„(a,x)

Не ставя перед собой задачи исследовать возможность такого представления, мы покажем лишь, как вычислить коэффициенты

43&

этого разложения, если преднолояшть, что такое представление возможно.

Предварительно установим одно весьма важное свойство функции Бесселя, а именно, свойство их ортогональности. В § 4 было показано, что уравнению

&у , 1 da i п*\

удовлетворяет функция y = J„(ax). Если в этом уравнении сделать

(17)

подстановку у — -, то мы иридем к уравнению ух

SR+[ SRJ"=°

которое, очевидно, имеет решение:

u=V~xJ„(ax)

Подобным же образом убедимся, что функция v= Vx/„ (bx)

удовлетворяет уравнению:

1

Если мы теперь последнее равенство продифференцируем по Ь и в полученном выражении положим 6 = а, то получим:

х

2a\xJ\ (ах) О

Положим теперь в формуле (20) х = 1: 1

(Б2_A2) I xj„ (tx) Jn(bx) dx= aJn (6) J'„ (a)-bjn (a) J'„(b)

о

До сих пор мы считали а и 6 произвольными числами. Предположим теперь, что а а Ь — два неравных между собой корпя уран нения:

/Л(*) = 0

Тогда мы получим:

1

(&2_A2) J xJ„ (ах) Jn (bx) DR=0

(22>

и так как АФЬ, то

J xj„ (ax)J„(bx) dx=0

Свойство функций Бесселя, выражаемое этим равенством, называется ортогональностью. Это свойство позволит нам найти коэффициенты С„ искомого разложения

(18)

dx*

v = 0

Помножив уравнения (17) и (18), соответственно, на v и на и, вычтем из одного произведения другое; мы получим:

(Б2—Я2) uv=u"v — v"u (19)

Проинтегрируем обе части равенства (19) по х в пределах от 'О до л

* х

(b* — a*) J „„ dx= J (u"v — v"u)dx

u"v— yffu = —- (vuf— uv')

•следовательно

(Ь2_А8) J MJ DI= J-IL (ИВ'— Uv')dx= (vu' — uv')

(20)4/JU

(23>

F{x)= 2

где as — положительные корни уравнения /„ (а) = 0.

Для того чтобы получить значения коэффициентов этого разложения, умножим обе части (23) на xj„ (айж) и проинтегрируем в пределах от х = 0 до х = 1, тогда на основании (22) получим:

1 1

j xja (akx) F (x) dx=Ck \ xj\ (akx) dx

О О

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, может быть вычислен с помощью формул (21) и (13): 1

J*/S(A**)Таким образом, имеем:

G* = -П 2,nS [ Xl" F <*> dX

О

Задачи, решаемые с помощью разложения функции в ряд по функциям Бесселя, рассматриваются в гл. XVII.

441

5 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В КЛИНОВИДНОМ СТЕРЖНЕ

Рассмотрим задачу, приводящую к уравнению Сесселя. Медный клин имеет в поперечном сечении форму треугольника (рис. XVI-2).

Основание этого клина поддерживается при постоянной температуре tx; при этом тепло, вследствие конвекции и излучения, теряется в окружающее пространство, имеющее температуру г,. Коэффициент теплопроводности клина равен X. Требуется определить зависимость между температурой некоторого сечения клина и расстоянием от его конца.

Обозначим через t температуру сечения клина на расстоянии х от его конца и для упрощения примем, что изменением температуры

в направлении, пар

страница 114
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
софиты металлические от производителя
купить зарядное устройство для гироскутера в казани
тумба под телевизор высокая
курсы по созданию причесок в енакиево

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(07.12.2016)