химический каталог




Математические методы в химической технике

Автор Л.М.Батунер М.Е.Позин

(в+ 1)1»+2) . . . (в + s) Подставляя зти коэффициенты в исходный ряд, мы получим:

1 (тУ , (1)' (т)" ,

"_А° L И(» + 1) 2! (в+ 1) (» + 2) 3! + (в + 2) (в + 3) 'г","1

' 2"Г (в+ 1)

__1

0_ 2»в!

Ряд в квадратных скобках сходится при всяком значении ж. Полученная функция, т. е. у, удовлетворяет данному дифференциальному уравнению при любом выборе оставшегося неопределенным коэффициента а0. Иэ соображений симметрии обычно принимают:

1

Если п — целое число, то

Полученная таким путем функция обычно обозначается Ja (ж) И называется Бесселевой, или цилиндрической, функцией первого рода порядка п

Jn * I (I)' , (ТУ 1

JnW 2»Г(в + 1) L 11 (»+1) 'r 2!(B + 1)(B + 2) ""J

ИЛИ, сокращенно:

s=co

J (x)-\ (-1)' / x y-a*

(3)

Если принять p = — n, то таким же путем можно получить второе решение уравнения (1), которое обозначается /_„ (ж):

J'-IIW=2 г(*+1)Г(«-в+1) (т)

1

Если и—число дробное, то числа г _ и г _'п+1) 0,гличны от нуля при любых s. Функции Ja (ж) и (ж) в этом случае

28 Заказ 1706 433

(4)

линейно независимы, т. е. одна из них не получается из другой умножением на некоторую постоянную. Таким образом, при п дробном мы можем написать общее решение уравнения (1) в таком виде:.AJ„(x) + BJ_a{x)

Приведем лишь окончательный результат вычислений:

о-!'-<•>1>Ш +»]42-тоуг 2

При п целом функции J „ (х) и J _„ (г) оказываются линейно зависимыми друг от друга и формула (4) уже не дает общего интеграла уравнения Бесселя. Действительно, коэффициенты при первых п слагаемых ряда J_n (х) обращаются в нуль. Поэтому

+2-42(1)

;-"W" 2 Т(5+1)Г(1-л + 1) (!)

Приняв получим:

Y(r + n + \)T{ ~~

Таким образом, функции Jn (х) и J_n (х), как былб сказано выше, линейно зависимы при целом п.

Следовательно, для построения общего интеграла уравнения (1) нужно найти новый частный интеграл этого уравнения, линейно независимый от Jn (х).

§ 3. ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКА в ВТОРОГО РОДА

(6)

Для отыскания частного интеграла уравнения (1), линейно независимого от J„ (х) в случае целого п, рассмотрим функцию:

[cos nnJn (х) —J_n (х)]

Так как эта функция линейно зависит от функций /„ и /_„, то она является решением дифференциального уравнения Бесселя порядка п. При п целом эта функция принимает неопределенный вид, так как sin гаг = 0, а выражение в квадратных скобках также обращается в нуль вследствие равенства (5). Можно, однако, с помощью правила Лопиталя раскрыть эту неопределенность, найдя величину предела выражения (6) при г, стремящемся к целому числу (см. гл. I, § 18). Обозначим этот предел через Y„ (х): где у — постоянная Эйлера:

т=дт«>(1+1!+1г+- • • +4--is«)=°'577215

Наличие логарифмического слагаемого в функции Yn (х) показывает, что эта функция при х = 0 обращается в бесконечность.

Таким образом, общее решение уравнения Бесселя в случае целого п имеет вид:

y = ClJn(x) + CiY„(x)

где Ci и Cs — произвольные постоянные.

Функция Ya носит название функции Бесселя второго рода.

§ 4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ

а)

На практике часто встречается дифференциальное уравнение:

WTi ЙГ х* }У

Примем:

Тогда при подстановке в (7) получим уравнение Бесселя

?§-+<*-?> »=°

решение которого будет:

y=AJn(s) + BYn(z)

где А и В — произвольные постоянные.

Возвращаясь к старому независимому переменному, получим решение дифференциального уравнения (7);

y=AJn {kx)+BYn (кх)

Имеется много дифференциальных уравнений, решения которых выражаются через функции Бесселя. Так, например, с помощью надлежащей замены переменной можно показать, что уравнение

r"w=,ll"!,[~

мГ + -х-!х- + Ь!>'=0

434

28»

435

имеет решение!

1 = AJn (х Vb) + BYа (х VI)

где . !_„

Ги А и JB—произвольные постоянные.

(8)

dx*

§ 5. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ МНИМОГО АРГУМЕНТА Рассмотрим дифференциальное уравнение:

d*y

+ T# + (-T-?)'-0

1,0

0,8 0,8

иг в

Это уравнение можно получить из уравнения (7), если принять к — i. Следовательно, решением уравнения (8) будет функция Jn(xi).

Обычно в качестве канонического решения зтого уравнения берут функцию

Заменив в последней сумме иолучим:

Таким же образом можно показать, что

xJ'a + nJa—xJ (10)

Сложив уравнения (9) и (10), получим:

Подставим в уравнение (11) п = 0 и воспользуемся (5), тогда получим:

(12)

При умножении (9) на ж"""1 имеем:

х-"Гп = х-"-Ып - х-Чпп

(1»

Следовательно-(аг»/„) = -г-»/„.1 dx

Подобным же образом можно показать, чтоL(*V«) = *V«-I

dx

Вычитая уравнение (10) из (9), получим:

~~ Ja = Ja-\-hJn*l

(14)

Полученные нами рекуррентные формулы для функций Бесселя полезны тем, что они сводят вычисление бесселевых функций с большим номером к вычислению бесселевых функций с меньшим номером. Например, имея таблицу значений /„ (ж) и Jx (ж), можно с помощью формулы (14), полагая в ней n = 1, составить таблицу значений функции /2 (ж):

/„(*) = ?§•./! (*)-/„(*)

Зная Зх и можно найти /3 по формуле

— nJn-\-x

(-1)' /Л"*

+ \2 )

и т. д.

«33

437

Функции Г„ (х), /„ (х) и Кп (х) были опр

страница 113
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215

Скачать книгу "Математические методы в химической технике" ()


[каталог]  [статьи]  [доска объявлений]  [прайс-листы]  [форум]  [обратная связь]

 

 

Реклама
производитель винилового сайдинга в краснодаре
Обувницы AT
architects 3.02.2017 москва ,bktns
курсы вызижиста

Рекомендуемые книги

Введение в химию окружающей среды.

Книга известных английских ученых раскрывает основные принципы химии окружающей среды и их действие в локальных и глобальных масштабах. Важный аспект книги заключается в раскрытии механизма действия природных геохимических процессов в разных масштабах времени и влияния на них человеческой деятельности. Показываются химический состав, происхождение и эволюция земной коры, океанов и атмосферы. Детально рассматриваются процессы выветривания и их влияние на химический состав осадочных образований, почв и поверхностных вод на континентах. Для студентов и преподавателей факультетов биологии, географии и химии университетов и преподавателей средних школ, а также для широкого круга читателей.

Химия и технология редких и рассеянных элементов.

Книга представляет собой учебное пособие по специальным курсам для студентов химико-технологических вузов. В первой части изложены основы химии и технологии лития, рубидия, цезия, бериллия, галлия, индия, таллия. Во второй части книги изложены основы химии и технологии скандия, натрия, лантана, лантаноидов, германия, титана, циркония, гафния. В третьей части книги изложены основы химии и технологии ванадия, ниобия, тантала, селена, теллура, молибдена, вольфрама, рения. Наибольшее внимание уделено свойствам соединений элементов, имеющих значение в технологии. В технологии каждого элемента описаны важнейшие области применения, характеристика рудного сырья и его обогащение, получение соединений из концентратов и отходов производства, современные методы разделения и очистки элементов. Пособие составлено по материалам, опубликованным из советской и зарубежной печати по 1972 год включительно.

 

 



Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100

Copyright © 2001-2012
(03.12.2016)